センター試験　数学

こんにちは
今日はセンター試験の数学をみていきたいと思います

関数f(θ)=3sinθ ^2 +4sinθcosθ -cosθ ^2
について考える
f(0)=-1
f(π/3)=3 3/4 +4 √3/2 1/2 -1/4
=2+√3
である

半角の式より
cosθ ^2= cos2θ+1 /2
よってf(θ)は
f(θ)=3 1-cos2θ /2 +2sin2θ - cos2θ+1 /2
=-2cos2θ +2sin2θ +1　①

cos2θ=cosθ ^2 -sinθ ^2
=2cosθ ^2 -1
=1-2sinθ ^2
sinθ ^2=1-cos2θ /2
sin2θ=2sinθcosθ

0≦θ≦πのとき
f(θ)のとりうる最大の整数mとそのときのθの値をもとめよう
三角関数の合成を用いると①は
f(θ)=2√2sin(2θ-π/4) +1
となる
よってm=3
そのときのθの値は
sin(2θ-π/4)=1/√2
2θ-π/4=π/4 3π/4
2θ=π/2 π
θ=π/4 π/2
である

連立方程式
log2 (x+2) -2log4 (y+3) =-1　②
(1/3)^y -11(1/3)^x+1 +6=0　③
をみたすx,yをもとめよう

真数の条件によりx,yのとりうる値の範囲は
x+2>0 y+3>0
x>-2 y>-3

底の変換公式により
log4 y+3=log2 y+3 /2
である
よって②から
log2 x+2 -log2 y+3 =-1
log2 x+2/y+3 =-1
x+2/y+3=1/2
y+3=2x+4
y=2x+1　④
が得られる

次にt=(1/3)^xとおき④を用いて③をtの方程式に書き直すと
t^2 1/3 -11 1/3 t +6=0
t^2-11t+18=0　⑤
が得られる

1/3 ^2x+1=t^2 1/3

xがx>-2のとき
tのとりうる値の範囲は0<t<9　⑥
である
⑥の範囲で⑤を解くと
t-9 t-2=0
t=2
となる
したがって　連立方程式②、③をみたすx,yの値は
2=1/3 ^x
log3 2=xlog3 1/3
x=-log3 2
x=log3 1/2
y=2x+1
=2log3 1/2 +1
=log3 1/4 +log3 3
=log3 3/4
であることがわかる

みてくれてありがとうございます