60度または120度の角度を持つ三角形の整列問題は特定区間の有理数の整列問題
$${A(0,\sqrt{3}),B(-1,0),C(1,0),D(x,0)}$$ 但し、$${0 < x < 1}$$ とすると、
$${\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CA}=2, \overline{BD}=1+x, \overline{CD}=1-x, \overline{AD}=\sqrt{x^2+3}}$$
です。そして、
$${\overline{BD}^2+\overline{CD}^2+\overline{BD} ・ \overline{CD} }$$
$${=(1+x)^2+(1-x)^2+(1+x)(1-x)=x^2+3=\overline{AD}^2}$$
の関係があることから、$${\overline{BD},\overline{CD},\overline{AD}}$$の辺長を持つ三角形は120度の角度を持つ三角形です。
ここに辺長として登場した４つの値、$${\{1-x,1+x,\sqrt{x^2+3},2\}}$$の中から、３つの値を選ぶ方法は４通りあり、それぞれ、
・$${\{1-x,1+x,2\}}$$ ⇒ 線分BDCに相当 三角形にはならない。
・$${\{1+x,\sqrt{x^2+3},2\}}$$ ⇒ 三角形ABDの三辺。含60度の鋭角三角形
・$${\{1-x,\sqrt{x^2+3},2\}}$$ ⇒ 三角形ACDの三辺。含60度の鈍角三角形
・$${\{1-x,1+x,\sqrt{x^2+3}\}}$$ ⇒ 辺長が$${\overline{CD},\overline{BD},\overline{AD}}$$の含120度の三角形
のように、線分、あるいは、60度または120度の角度を含む三角形に対応させることができます。三つ三角形は相互排他的であり、さらに $${0 < x < 1}$$と範囲を限定した場合、複数の$${x}$$で同じ形状の三角形を示すことはありません。
$${x}$$及び$${\sqrt{x^2+3}}$$が有理数ならば、$${\{1-x,1+x,\sqrt{x^2+3},2\}}$$のセットは、
・2を含む
・60度または120度の角度を持つ三つの三角形の辺長となり得る
・全て有理数
という特徴を持つので、単位セットと呼ぶことにします。
そして、単位セットを整数化、つまり、分数の分母の最小公倍数を乗じたものを基本セットとすると、基本セットを抽出、整列させることが、目下、本稿の目標となっています。
$${\sqrt{x^2+3}}$$が有理数となる有理数$${x}$$を求める問題は、楕円$${u^2+3v^2=1}$$上の有理点を求める問題になり、
例えば、$${x=\dfrac{3t^2-1}{2t}}$$の時、$${\sqrt{x^2+3}=\dfrac{3t^2+1}{|2t|}}$$等と解決可能。
次に、$${ 0 < x < 1 }$$を要請すると、つまり、$${0 < \dfrac{3t^2-1}{2t} < 1}$$を解くと $${-\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < -\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < 1}$$ となることから、例えば、$${\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < 1}$$を満たす有理数をナンバリングすることができれば、60度または120度の角度を持ち辺長が整数の三角形のナンバリングができたことになります。
では、$${\dfrac{1}{\sqrt{3}} < t < 1}$$ の有理数のナンバリングはどうするか？
と考えることになりますが、今回は、ここまでとしたいと思います。