フォローのお礼
青森の【東奥義塾中学・高校】様からフォローを頂きましたので、お礼を込めて、入試問題のご紹介をさせて頂きたいと思います。残念なことに中学の入試が手に入りませんでしたので、高校の2024年の数学の問題から拝見したいと思います。武蔵はちょっと横っちょに置いときます。なお、数学から始めましたが、英語教育にも力を入れておられるように拝察いたしますので、後日そちらもご紹介したいと思います。
お礼ですので、忖度しまくりますよ（笑）！
全国の学校を漫遊するという企画も思いつきました。
急いで作成しましたので、誤答がありましたら、ご指摘ください。
なんて基本に忠実で素直な問題なんでしょう！
青森における進学事情に疎いので、どれくらいのレベルの生徒たちが受験されるのかは存じませんが、数学が不得手な受験生にも点数をとらせようという配慮がうかがえます。
(1)のウなどでは、x + 9y とするような誤答が出そうですね。エは2とか5を数だと思わずに指数計算をやって、最後で必要なだけ計算するという便法と、指数法則を上手く使うことで解答時間が短縮されつつ誤答もなくなるという効果が出せると思います。
球の表面積や体積は、導出することなく、公式を教えるのでしょうか。積分使わないと導出は厳しいですよね。体積が与えられれば、高さを半径とする底面積微小の錐体を考える（中心を針で指して球体をつくる、みたいな）ことによって、表面積は導出できます。この論点については、稿を改めて述べたいと思います（覚えていたら、ですが・・・）。
素直で優しい問題で心が癒されます。解答時間は、・・・、1分台というところでした。
データサイエンスの資質を早いうちから具備させようという狙いがあるのでしょうね。
忖度ばかりだと思われたくないですので、１点だけ申し上げますが、(5)で「正しいものをすべて」としていて、解答は１つであることはいささか不親切な気がします。ちょっとグラフのイメージ図を描いてみればすぐに真偽が分かるので、それほど大きな問題ではないと思いますが、「ハルシネーション」をおこす受験生がいるかもしれませんね。受験生のメンタルの状態を考えれば笑殺できない話ではあると思います。それなら、一つ一つの真偽を〇、✕で答えさせるとか、真偽のパターンを選択肢にするなどの工夫の余地があったのではないかと思いました。
(6)が統計絡みですね。スポット的に問うというのは、ちゃんと見ておけよというメッセージなのでしょう。
(7)はmをnで割った商と余りがそれぞれq, rとしたとき、
m = q n + r (0≦ r ＜n)
という式が作れるかどうかが鍵でしょう。
(8)については、接弦定理とか接点において半径と接線が垂直であるという話を使って解くというアプローチもありますね。円外の点からの2本の接線を見たら、接点を結ぶ弦をひきたくなりますよね。muscle memoryとでも申しておきましょう。
大学入試では、コンパスや定規が使えないので、出せないですが・・・
中学入試では出してほしい！
あ、開成は出していました。
(1)は基本的な作図問題ですが、Pが二等辺三角形の頂点となりPA=PBという情報を底角が等しいというところから持ってこなければならない箇所で少しハードルを上げているのかなと思いました。角の二等分線と、線分の垂直二等分線の作図なので、平易ですね。
思ったのですが、例えば、角の二等分線の作図が意味するところは、合同な三角形を作っているというところですね。その理解なしに「手順」だけを教えている人がいるとしたら、ちょっと困ったものです。いなければよいのですが。私が遭遇したことがあるのは、頂点を中心とした円とその円と辺の交点を中心とした２つの円の半径を変えてはいけないという「説」でした。しかしそれは違います。２つの円の半径はキープしなければなりませんが、最初に描く円の半径と違っていても問題ありません。いちいちコンパスの角度を変えるのはダルいし間違えを犯しやすいので、半径を変えずに３つの円を描くというのなら話は分かります。それならそうと教えるべきでしょう。
(2)は典型的な論点ではあります。階乗計算はどんどん重くなっていくので、真面目に計算していたら試験時間中には解答不可能ですね。やはり2×5のペアが素因数からいくつ作れるか、その鍵は素因数に含まれる5の数（累乗の指数）ということになります。2は偶数の度に出てきますから、含まれる素因数の数としては、5のそれよりも圧倒的に多いので、5には必ずペアになれる2がいるということですね。なんだか婚活パーティーの男性と女性の参加者みたいですね（笑）。私もたまに参加して楽しんでいます。真面目に「婚活」されている方には申し訳ありませんが、私は遊び感覚です。参加しなければ絶対に逢わない人とお話しできるのが楽しいのです。
10！＝3638800ですよね。スマホで今計算してみました（笑）。
アとイの誘導に上手くノッカルことができればウは大丈夫でしょう。
「邪道」といえばそうかもしれませんが、証明の「お作法」を理解しているという意味で評価できるともいえるんじゃないでしょうか。
(1)のアは相似の証明の穴埋めで基本中の基本ですね。円を扱うことによって、等しい角があちこちにできたり、直角ができたりするというのが面白いところで、等しい角があちこちにできるということと相似は非常に親和性が高いというわけですね。
イは気が付けば直角二等辺三角形があちこちにできているし、三辺の比が1:2:√5の直角三角形が現れたりと何かと発見が多い図ですね。無理数の多項式が出てきて、ちょっと雲行きが・・・と思いきや
(a + b) ( a - b) = a^2 - b^2
で消えちゃうんですね。ただ、43という「素数」が出てきています。答え間違ったかな？間違っていたらすみませんが、私の投稿において解答の正当性と正統性は保証しておりませんのでその旨ご理解ください。
(2)は√34を斜辺とし、直角を挟む辺の一つが１辺６cmの正方形の対角線の半分、6/√2 cmの直角三角形で考えても高さが求まるでしょう。ただ、三辺の比というか実際の値が3, 4, 5の直角三角形を隠してくれているのですから素直にそれを使った方がいいですね。「素直さ」って大切！
(2)はちょっと気付きが必要ですね。
ここでも巧みに1:2:√5の直角三角形と直角二等辺三角形を隠して（？）いますね。
(1)のアはy=a x^2の x 座標が p, q である２点を結ぶ直線の傾きは a ( p + q)となることを使えば瞬殺です。これもmuscle memoryです。y切片も確か-apqだったような気がします（こちらは自信がないです）。
(2)は面積比が相似比の平方比（？）になっていることから逆算的に相似比を求めるところがイレギュラーな感じですが、分かりやすい数値なので大丈夫でしょう。三辺の比が1:2:√5の合同な直角三角形の存在していることが見えれば、△BCEが直角二等辺三角形であることに気付けます。説明が、Bからx軸に下した垂足を設定したりしなければならず、厄介だったので、赤字の解答は座標を使って三平方の定理をつかった書き方になっています。
実際には直角三角形の三辺の比で解きました。
（直角）二等辺三角形の頂角の二等分線は中線でもあり、対辺の垂直二等分線でもあるというような性質を贅沢に持ち合わせています。要はBEの中点めがけて引けばいいだけです。この種の問題できれいな答えがでることはそうそうなさそうなので、キタナイ数値ですが、たぶんあっているのではないかと・・・。
２人の解法をみるというのは、アルゴリズムの評価という観点から面白いと思います。
これが最後の大問ですね。
複数の考え方を見せるというのは、学習指導要領の流れにのっているのではないかと思います。もう少し突っ込んで、「２通りの解法で解け」という問題にするのもアリかなと思いました。さらにそれらの解法の利害得失を論ぜよ、とか。文言は平易にしなきゃですが。
「あきらさん」の考えだと、少しひらめきが必要ですが、その分方程式の次数が下がって１次方程式の問題に帰着させることができます。一方、「たくみさん」の考えは汎用性という観点から評価できます。ひらめかなくても解答できるという利点があります。
このような問題は、「アルゴリズム」という言葉をexplicitに使わなくても、一つの問題解決に複数のアプローチを考案して、それらを実装するにあたりどちらにメリットがあるのかというアタマの使い方を意識させるきっかけになると思います。
というわけで、フォローのお礼として東奥義塾高校の入試問題をご紹介しました。ひょっとしたら、これを契機に、なんらかの交流の場をお持ちいただけたら嬉しいな、っと思ったりします。
全体として、受験生に優しい、素直な問題が多かったのではないでしょうか。ミョウチキリンな数字を振り回したり、嫌がらせのような問題が横行している中学受験の算数に比べれば、確かに平易なのかもしれませんが、そういうところで揉まれた小学校卒業生と、こういう入試で満点をとれる生徒のどちらが好きかといえば、後者ですね。