31.17 ベクトルの初歩（数ベクトルの成分計算）

幾何ベクトルには和と実数倍が定義されていました。数ベクトルの場合はそれがどのようになるかという話をします。

ベクトルの成分計算

理屈を後回しにして、成分表示されたベクトルについての計算方法から始めます。否、先に理屈が知りたいという人は、上の目次の「数ベクトルの性質について」をクリックして飛んでください。

数ベクトルの性質
$${\vec{a}=(a_1, a_2), \: \vec{b}=(b_1, b_2)}$$について次が成り立つ：
　　(1)  $${\vec{a}=\vec{b} \iff a_1=b_1, \: a_2=b_2}$$
　　(2)  $${\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, \: a_2+b_2)}$$
　　　　$${\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1, \: a_2-b_2)}$$
　　(3)  $${k\vec{a}=(ka_1, ka_2) \:\: (k\in \mathbb{R})}$$ ▮

これらに共通しているのは、第１成分は第１成分、第２成分は第２成分で考えるということです。計算ができるようになったら、理屈を知りましょう。そうすることで理解が深くなります。

では具体的に見てみます。

例１（ベクトルの相当）$${\vec{a}=(x, -3), \: \vec{b}=(1, y)}$$のとき、
　　$${\vec{a}=\vec{b}}$$　ならば　$${x=1, \: y=-3}$$です。

例２（ベクトルの和と実数倍）$${\vec{a}=(2, -3), \: \vec{b}=(-1, 2)}$$のとき

　(1)  $${\vec{a}+\vec{b}=\dbinom{2}{-3}+\dbinom{-1}{2}=\dbinom{2+(-1)}{(-3)+2}=\dbinom{1}{-1}.}$$

　　よって、$${\vec{a}+\vec{b}=(1, -1).}$$

数の対応を見やすくするために、ベクトルを縦に並べました(※1)。
この場合は答えを書き直す必要がありますが、間違えるよりは良いかと思います。もちろん
　　　　　　　$${\vec{a}+\vec{b}=(2, -3)+(-1, 2)=(1, -1)}$$
でも構いません。

　(2)  $${2\vec{a}-3\vec{b}=2\dbinom{2}{-3}-3\dbinom{-1}{2}=\dbinom{4}{-6}+\dbinom{3}{-6}=\dbinom{7}{-12}.}$$

　　よって、$${\vec{a}+\vec{b}=(7, -12).}$$

注：上では (-3)倍しましたが、そうではなく、次のようにも計算できます。

　(2)’  $${2\vec{a}-3\vec{b}=2\dbinom{2}{-3}-3\dbinom{-1}{2}=\dbinom{4}{-6}-\dbinom{-3}{6}=\dbinom{7}{-12}.}$$

(2) と (2)' のどちらを採用するかは好みです。 正しく導ければいいのです。

　(3)  $${3(\vec{a}-\vec{b})=3\big(\dbinom{2}{-3}-\dbinom{-1}{2}\big)=3\dbinom{3}{-5}=\dbinom{9}{-15}.}$$

　　よって、$${\vec{a}+\vec{b}=(9, -15).}$$

ついでに、前回の復習もしましょう。

　(4)  $${|\vec{a}+3\vec{b}|=\Big|\dbinom{2}{-3}+3\dbinom{-1}{2}\Big|=\Big|\dbinom{-1}{3}\Big|=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}.}$$

　　よって、$${|\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{10}.}$$ ▮

計算練習

$${\vec{a}=(1, \: 5), \: \vec{b}=(3, -4)}$$のとき、次を計算せよ。
(1)  $${\vec{a}+\vec{b}}$$　　　(2)  $${3\vec{a}-3\vec{b}}$$　　　(3)  $${|3\vec{a}+2\vec{b}|}$$