31.15 ベクトルの初歩（内積の利用 演習）

基本を確認するための演習です。自力で解けるかどうかが問題であり、早く解けることではありません。時間を掛けてでも自力で解けたのなら、それは実力です。自信を持ってください。
1⃣～5⃣は証明問題です。6⃣は唯一証明ではありません。5⃣と6⃣は歯ごたえのある問題ですが、基本的な知識と計算力があれば解けます。

基本演習

1⃣　AB=ACである二等辺三角形ABCの頂点Aと底辺BCの中点Mを結ぶ中線AMは、底辺BCに垂直である。このことをベクトルを用いて証明せよ。

2⃣　三角形△ABCの外心をOとし
　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$$
とする。このとき
　　　　　　　　　　　BH⊥CA　かつ　CH⊥AB
であることを証明せよ。

3⃣　四面体ABCDにおいて
　　　　　AC⊥BD　ならば　$${\text{AD}^2+\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{CD}^2}$$
であることを、ベクトルを用いて証明せよ。

4⃣　三角形△ABCにおいて、頂点B, Cからそれぞれの対辺CA, ABに下ろした垂線の交点をHとするとAH⊥BCである。
　このことをベクトルを用いて証明せよ。

5⃣　∠Aが直角で AB : AC＝2：3 の△ABCがある。BCを 4 : 3 に内分する点をP、ACを 1 : 2 に内分する点をQとするとき、AP⊥BQであることを証明せよ。

6⃣　立方体ABCD-EFGHにおいて、辺EHの中点をMとし、さらに、線分BM上にAP⊥BMになる点Pがある。
　$${\vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \vec{d}:=\overrightarrow{\mathrm{AD}}, \: \vec{e}:=\overrightarrow{\mathrm{AE}}}$$とするとき、$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}}$$を$${\vec{b}, \: \vec{d}, \: \vec{e}}$$で表せ。