29.18 微分の初歩（補遺 ｎ次関数について）

ｎ次関数に関する発展的な話の３/５回目です。
今回はｎ次関数について言い残したことを話します。極値が求めにくい問題、関数$${y=x^n}$$のグラフ、高校数学Ⅱの範囲ではグラフが描きにくい問題について触れます。

問題形式で話を進めるので、解説を読む前に解いてみてください。少なくとも３分くらい考えると、解けなかったとしても理解が深まると思います。

問題１（極値を求めるのがたいへん？）

実数上で定義された関数$${y=x^4-4x^3+2x^2-2}$$の極値を求めよ。

解答解説

極値を求めたいので増減表を完成させます。
微分すると
　　　　　　　　　　$${y'=4x(x^2-3x+1)}$$
となります。有理数係数の範囲ではこれ以上因数分解できません。でも２次式は判別式がプラスなので実数根を持ちます。そこで次のように続けます。
増減表を完成させるには$${y'=0}$$となる$${x}$$の値が必要なのだから

$${y'=0}$$を解くと
　　　　　　　$${x=0}$$　または　$${x^2-3x+1=0.}$$
したがって
　　　　　　　　　　　$${x=0, \: \dfrac{\:3\pm \sqrt{5}\:}{2}.}$$

増減表を書くと

$${y}$$の値を求めたいのですが、$${x=\frac{\:3\pm \sqrt{5}\:}{2}}$$をまともに代入して計算するのは･･･できればしたくありません。計算のめんどうさが目に見えているからです。