31.28 ベクトルの初歩（ベクトル方程式と領域）

ベクトルを用いて図形を表せることが分かったと思います。それを利用すれば点の動く範囲を考えることも出来ます。高校数学のベクトルの話の中で、これがもっとも分かり難いと思います。そのため、丸暗記でテストに挑む人もいると思われます。

ベクトル方程式の表す領域

Ｏを原点とする平面上に２点Ａ,Ｂがあり、３点Ｏ,Ａ,Ｂは同一直線上にないものとします。このとき$${\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \:   \overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$は平行でないので、平面上の任意の点Ｐは、ある２つの実数$${k, \: \ell}$$によって

$${\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\ell\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$　･･･①

と表すことができます。

問１　①において、$${k, \: \ell}$$が実数全体を動いたとき、点Ｐはどのような図形を表しますか。

問２　①において、$${k, \: \ell}$$に$${k+\ell=1}$$という制限を付けて実数全体を動かすとき、点Ｐはどのような図形を表しますか。

自分なりの結論を出せましたか。
問１は平面OAB、問２は直線ABです。

問１のように制限をしなければ、平面上のすべての点を表せますが、問２のように制限すれば直線を表すことになります。今回の内容は、問２のように制限を付けた場合に、点Ｐがどのような範囲を動くのかを考えます。

例１（線分）

△OABと動点Ｐがあり、２つの実数$${s, \: t}$$に対して

$${\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$

が成り立っています。
２つの実数$${s, \: t}$$を$${s+t=1,\: s\geqq 0,\: t\geqq 0}$$という範囲で動かすとき、点Ｐがどのような図形を表すか考えてみます。

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問２のように条件$${s\geqq 0,\: t\geqq 0}$$が付いていなければ直線ABを表しますが、条件$${s\geqq 0,\: t\geqq 0}$$が付いていることでどう変わるのでしょうか。

考え方その１（内分点の知識を用いる）
△OABにおいて、辺ABを$${m:n}$$に内分する点をＰとすると