31.30 ベクトルの初歩（総合演習A）

難易度　総合演習Ａ：教科書の節末問題～章末問題
　　　　総合演習Ｂ：教科書の章末問題～入試問題の基本

総合演習Ａ

1⃣　正六角形ABCDEFの辺DEの中点をＧとするとき，$${\overrightarrow{\mathrm{AG}}}$$を$${\overrightarrow{\mathrm{AC}},\:\overrightarrow{\mathrm{AE}}}$$を用いて表せ．

2⃣　平面上または空間内の２つのベクトル$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$に対して，次の不等式を証明せよ．

$${|\vec{a}+\vec{b}|\leqq |\vec{a}|+|\vec{b}|}$$

（この不等式は三角不等式と呼ばれています）

3⃣　２つの平面ベクトル$${\vec{a}=(a_1, \: a_2), \: \vec{b}=(b_1, \: b_2), \: \vec{a}\neq \vec{0}, \: \vec{b}\neq \vec{0}}$$に対して，次を示せ．

$${\vec{a}\:/\!/\: \vec{b} \iff a_1b_2-a_2b_1=0}$$

4⃣　四面体ABCDにおいて次式の値を求めよ．

$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BD}}}$$

5⃣　平面上の異なる２点Ｏ,Ａに対して，次式を満たす動点Ｐはどのような図形を表すか答えよ．

　(1)  $${|2\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$$　　　　(2)  $${|\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}$$

　(3)  $${(\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})=0}$$

6⃣　平面上または空間内の２つのベクトル$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$の長さが$${|\vec{a}|=1, \: |\vec{b}|=2}$$のとき，次の値の最大値および最小値を求めよ．

　(1)  $${\vec{a}\cdot\vec{b}}$$　　　　　　　(2)  $${|\vec{a}-2\vec{b}|}$$

7⃣　座標平面上に２点$${\text{A}(2,-3), \: \text{B}(-1,\: 2)}$$がある．このとき次の問いに答えよ．

　(1)  $${\overrightarrow{\mathrm{OA}}\:/\!/\!\!\!\!\backslash\,\:\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$であることを示せ．

　(2)  点$${\text{C}(4,\:7)}$$のとき，$${\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$$を$${\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \: \overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$で表せ．

8⃣　立方体ABCD-EFGHの辺GCを２:１に内分する点をＰとするとき，$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}}$$を$${\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AF}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AH}}}$$で表せ．

9⃣　空間内の２つのベクトル$${\vec{a}=(1, \: 3, -2), \: \vec{b}=(1, -2, \: 0)}$$と実数$${t}$$に対して，$${\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}}$$とする．このとき，$${|\vec{p}|}$$の最小値を求めよ．

10　$${AB=1, \: BC=\sqrt{14}, \: AC=3}$$の△ABCがある．実数$${s, \: t}$$が
　$${0\leqq s\leqq 1, \: s\geqq 0, \: t\geqq 0}$$の範囲を動くとき，$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(s+t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$
で表される点Ｐが動く範囲の面積を求めよ．