31.07 ベクトルの初歩（図形への利用）

平面上または空間内のベクトルの続きです。三角形ABCとあった場合、平面上の図形と捉えても構わないし、空間の図形と捉えても構いません。
今回は、線分の内分点、中点、外分点および三角形の重心に関するものを扱います。

ベクトルは、向きと長さが等しいければ同じものと考えるので、１点を固定し、それを始点としたベクトルで考えることをよくします。

内分点と中点

例１　３点A, B, Cを頂点とする△ABCを考え、$${\vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$とし、線分BCを$${3:1}$$に内分する点を$${\text{P}}$$とするとき、$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}}$$を$${\vec{b},\: \vec{c}}$$で表してみましょう。

AからPへの移動をA→B→Pと考えると
　　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}}$$
となります。
$${\text{BP}:\text{PC}=3:1}$$なので
　　　　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\dfrac{\:3\:}{4}\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$
と表せます。ここで
$${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$は、BからCへの移動をB→A→Cと考えて
　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\vec{b}+\vec{c}}$$
です。以上をまとめると
　　　　　　　　　　$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}}$$
 　　　　　　　　　　　  $${=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\:3\:}{4}\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$
　　　　　　　　　　 　  $${=\vec{b}+\frac{\:3\:}{4}(-\vec{b}+\vec{c})=\dfrac{\:1\:}{4}\vec{b}+\dfrac{\:3\:}{4}\vec{c}}$$
となります。▮

この考え方は基本で、修得したいものの一つです。
ただこの場合は、平面幾何の知識を利用すると最後の結果がかんたんに得られます。