2014年 日本数学オリンピック本選 第１問 解答例
三角形$${ABC}$$があり、その外心を$${O}$$とする。辺$${BC}$$の中点を通り$${\angle BAC}$$の二等分線に垂直な直線を$${l}$$とする。$${l}$$が線分$${AO}$$の中点を通るとき、$${\angle BAC}$$の大きさを求めよ。
考え方：
こちらも角度追跡と一部単純な長さの評価のみで行けます。
とはいえ、元の図だけでは見えづらいことが多々あり、
特に「$${\angle BAC}$$の二等分線」の扱いに困ります。
外心が関係するので外接円を描き、この線を延長してみると一気に見通しがよくなります。
解答例：
図のように辺$${BC}$$の中点を$${M}$$、$${l}$$と$${AO}$$の交点を$${N}$$、$${\angle BAC}$$の二等分線と$${l}$$の交点を$${L}$$とする。
また、直線$${AL}$$と三角形$${ABC}$$の外接円との交点のうち$${A}$$でないものを$${D}$$とする。
このとき、$${\angle BAD= \angle CAD}$$であるから$${BD=CD}$$であるため、
$${\triangle BAD \equiv \triangle CAD}$$である。
よって$${\angle BMD = 90^{\circ}}$$であり、$${O}$$は$${DM}$$上にある。
直線$${DM}$$と三角形$${ABC}$$の外接円との交点のうち$${D}$$でないものを$${E}$$とする。
線分$${DE}$$は直径なので、$${\angle DAE = 90^{\circ}}$$であり、
$${AE}$$と$${LM}$$は平行になる。
よって$${OM:ME = ON:NA = 1:1}$$となる。
$${OB = OE = 2OM}$$であり$${\angle BMO = 90^{\circ}}$$であるから、
$${\angle BOM = 60^{\circ}}$$であり、$${\triangle BOE}$$は正三角形である。
よって$${\angle BAD = \angle BEM = 60^{\circ}}$$となり
$${\angle BAC = 2\angle BAD =120^{\circ}}$$である。
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