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四面体 $${OABC}$$ は次の 2 つの条件を満たしている。 (i) $${\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{OB} \perp \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}}$$ (ii) 4 つの面の面積がすべて等しい。 このとき、この四面体は正四面体であること
四面体 $${OABC}$$ があり、$${O}$$ を通り平面 $${ABC}$$ に平行な平面を $${\alpha}$$ とする。 また、辺 $${OC}$$ の中点を $${M}$$ とし、平面 $${ABM}$$ を $${\beta}$$ とする。 $${\alpha}$$ と $${\beta}$$ の交わりの直線を $${l}$$ とし、次の条件を満たす 2 つの点 $${P}$$ を $${P_1, P_2}$$ とするとき、 三角形 $${OP_1P_2
$${\theta}$$ を $${0 < \theta < \pi}$$ を満たす実数とする。空間内の 4 点 $$ A(1, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(\cos \theta, \sin \theta, 1), D(-\cos \theta, -\sin \theta, 1) $$ を頂点とする四面体 $${ABCD}$$ を考える。 （1）四面体 $${ABCD}$$ を平面 $${z = t (0 < t < 1)}$$
