テンソルとテンソル積（後半）

後半では、ベクトルとベクトルの「積」としてのテンソル積（前半の議論を少し進化させたもの）から、ベクトルのテンソル積を特徴付けるための重要なキーステップである「Tensor-Hom随伴性」を経て、いわゆるテンソル積の写像普遍性に進む。

北青葉山分館

東北大学青葉山北キャンパスの片隅に東北大学附属図書館北青葉山分館がある。ここは思い出深い場所だ。数学科に学科替えをする直前、東北大学に潜っていたころに、毎日通った場所である。

生物学科の学生だった3回生後期には、すでに自分の勉学がうまく行っていないことは明らかだった。私は京大をしばらく休学して、郷里の仙台で過ごすことにした。東北大学には出身高校の先輩もいて、当時物理学科の院生だった堀田昌寛さん（現東北大学理学研究科助教）にはカオス理論の勉強のためにセミナーしてもらったりした。堀田さんの紹介で数学教室の小田忠雄先生と知り合ったが、小田先生とは実はすでに私が高校2年生のとき、数理の翼夏季セミナーでお会いしていた。1990年度の4月には、小田先生の計らいもあり、東北大学の理学部数学科3年生の授業を聴講させてもらった。今だったら考えられないことだ（そして、すでに時効であると思う）が、この特別な計らいは当時の東北大学数学教室の教授会合（当時の学科長は堀田良之先生）で了承された（！）ということだ。

もちろん、聴講できるのは講義だけで、演習の方には参加しなかったので、午後は完全に自由な時間である。その時間を私は北青葉山分館で過ごした。北青葉山分館は数学の勉強には世界一適した場所である。自然に囲まれた静かな環境の中にあり、しかも数学の本も多く所蔵されていた。

私は北青葉山分館の数学の本を片っ端から読み始めた。とにかく「なんだこれは？」と思った本はとりあえず中を覗く。目次くらいには目を通す。おもしろそうな感じの箇所があったら、そこを斜め読みする。本当におもしろそうなら、机に座って読み始める。こういう読書スタイルは、いろいろな数学（の名前くらいは）を学ぶ方法としては悪くない。そして、これと並行して、その時々でじっくり読みたい本を精読することも大事だ。乱読と精読のバランスである。

特にブルバキ『数学原論・代数』第2章・第3章・第5章はとても勉強になった。第2章が線形代数で、第3章が多重線形代数、第5章が可換体論（ガロア理論）である。ブルバキの線形代数は、もちろん、普通の線形代数の教科書とは違っていて、環上の加群の理論である。そこにはすでにテンソル積の節もある。

特に私が重要だと思ったのが、第3章の多重線形代数だった。テンソル代数やグラスマン代数などの話だ。ここで私は、一般相対性理論の勉強をしていたころの、あの「座標的・係数的テンソル」と、抽象的なテンソル積の概念を結びつきについて、自分なりの理解が得られたのだと記憶している。当時勉強していた多様体論やリーマン幾何学に出てくるテンソル計算や微分形式の計算が、一体何をやっている計算なのかということも、そのころになって、（ようやく！）初めて統一的に理解できるようになった。私は中高生の頃から大学の数学を勉強するような「数学少年」では全然なかったし、大学に入っても数学の勉強はしてこなかったので、本格的な現代数学の理解は遅かった方だと思う。でも、京大を休学中の4年生相当の頃にはいろいろな数学の勉強ができたのは、とてもよかった。北青葉山分館は私にとってとても重要な場所だったのである。

ベクトルとベクトルの「積」

本稿の前半では、すでに有限次元ベクトル空間$${V}$$の基底$${\bm{x}_i}$$（すでにアインシュタイン記法が始まっている）から、そのテンソル積（例えば、$${\bm{x}_i\otimes\bm{x}^j}$$など）を作った。一般に、ベクトル空間$${V,W}$$のベクトル$${\bm{v}\in V,\bm{w}\in W}$$に対して、そのテンソル積$${\bm{v}\otimes\bm{w}}$$を定義できる。

この「$${\bm{v}\otimes\bm{w}}$$」が一体何なのか？ということには、あまり目くじら立てるべきではないだろう。それは何かの性質をもつものだ。例えば、しかるべき変換を受けるというような。そしてそれらの性質は往々にしてそのモノを決めるのである。