体の準同型について

今回は実質的にイデアル(ideal)について
そして本題は体の準同型は単射であることを示す。

この記事で出てくるキーワード
可換環、イデアル、環準同型、体、単射
一応全て何かしらコメントはしている。

この記事ではA,Bは可換環(commutative ring)
である。
また0≠1である。

Def
Aのsub set $${I}$$が
1.任意の$${x,y \in I}$$について$${x+y \in I}$$
2.$${a \in A, x \in I \Rightarrow ax \in I }$$
を満たすとき、イデアル(ideal)という。

可換環を仮定しているので右左の区別はない。

ここまでばっと書いてきたが
環(ring)はすごく雑に言えば足し算引き算かけ算では閉じていて、割り算で閉じてなくてもいいもの。
という感じ。
一方で体(field)は割り算でも閉じている。
(体の定義に可換環が入っているので体は可換環)
例えば整数の集合Zは環である。
だが体ではない。なぜなら1/2はZに入っていないから。

イデアルの例もあげておく。
Zの部分集合5Zを考えるとこれはイデアル。
つまり5の倍数に適当な整数をかけても5の倍数！
ということを言っている。
またA自身や{0}はtrivialなイデアルである。

イデアルは群(group)でいう正規部分群に対応していることに注意する。

さてこのイデアルで重要なものが2つある。

Prop
体は自明なイデアルしか持たない。

証明
Kは体、Iはそのイデアルとする。
$${I=\{0\}}$$なら明らかなので
そうでないとする。
すると次のようなxが取れる
$${x \in I\setminus \{0\}}$$
またKは体なのでその逆元が存在する。
Iはイデアルより
$${x^{-1}x=1 \in I}$$
ただし$${x^{-1} \in K, x \in I}$$に注意。
1がイデアルに入ると$${I=K}$$
よって示された。

次に

Prop
$${f:A→B}$$を(環)準同型(ring hom)とする。
この時ker fはイデアル

その前に環準同型の復習
A,Bを環とする。
$${f:A→B}$$を(環)準同型(ring hom)とは
任意の$${a,b \in A}$$で
1.$${f(a)+f(b)=f(a+b)}$$
2.$${f(a)f(b)=f(ab)}$$
3.$${f(1_A)=1_B}$$

証明
これは定義通り示す。
任意に$${x,y \in ker f}$$を取る。
１つ目
$${f(x+y)=f(x)+f(y)=0}$$より$${x+y \in ker f}$$
２つ目
任意に$${a \in A}$$を取ると
$${f(ax)=f(a)f(x)=0}$$より$${ax \in ker f}$$

よってker fはイデアルである。

もう一つ準同型で大切なものを述べる。
これは群論でも同じように証明できるので汎用性が高い！

Prop
(群のときは0が単位元に変わる。)
$${f:A→B}$$を環準同型(群準同型でもよい)とする。この時
fが単射であることと$${ker f={0_A}}$$は同値

単射？という方は以前記事を出したのでよかったらご覧ください！

証明
fが単射とする。
任意に$${a \in ker f}$$を取る。
f(a)=0=f(0)よりa=0
よってker f={0}

逆にker f={0}とすると
f(a)=f(b)とするとf(a-b)=0より
$${a-b \in ker f}$$よってa-b=0なのでa=b
ゆえにfは単射

ということで簡単に示せた。

ここまで準備して本題を示す。

thm
E,Fを体とする。
$${f:E→F}$$を体の準同型(環としての準同型)
とすると
これは単射である。

証明
先ほどの考察からker f ={0}を示せば良い。
まず体Eのイデアルは{0}かEであったが
0≠1より{0}のみ
ker fはイデアルだったので$${ker f={0_E}}$$
よって単射

おまけ？

この記事では0≠1を仮定したが
0=1としてみよう。
A={0}を
0+0=0,0×0=0と定めればこれは環である。
これを零環や自明な環という。

代数苦手な私に言わせればよくこんなもの思いついたな...と思う。

もう一つ
群や環、体ではいわゆる二項演算が入っているわけだがそもそも演算とはなんだろうか？

これも以前紹介した気もするが
Sを空でないsetとして
写像　f:S×S→S
を演算と定める。

まあこれは演算というより二項演算だが今回の文脈では演算とは二項演算のことなので...

あと可換環と可換であることを仮定したが、
そもそも可換じゃないものなんてあるの？
と思われるかもしれない。
残念なことに体は可換環を貸しているのでQ,ℝ,ℂは可換なので高校までで習うもので簡単に反例を見つけることは出来ない。
ただ行列を習えば可換でないものなんていくらでもあると分かるはずだ。
ということで可換という仮定は意味がある。