整域について？

今年最後の記事はやっぱり数学で。

さっそくですがまず以下の問題を考えてください。

$${x^2-4x+3=0}$$を解け。

いやいや、そんなの簡単や！
因数分解して、

$${(x-1)(x-3)=0}$$だから$${x=1  or  x=3}$$だ！と。

確かにその通りです。

ではなぜそうなるのですか？

例えばmod4の世界を考えた時、
$${2×2≡6×2≡...≡0}$$です。
上の計算もこのように考えると解が複数個の可能性はないのでしょうか？

つまり、

$${ab=0}$$ならば$${a=0   or  b=0}$$が常に成り立ってると言えるの？ということ。

この上記の条件を満たすものを整域といいます。

そしてこれは一見当たり前のように思うはずです。

それは自然なことで、実は整数、有理数、実数、複素数はこれを満たしています。

よって上記のように$${x=1   or  x=3}$$となるわけです。

特に体ならば整域ですので有理数、実数、複素数が整域は明らかでしょう。
整数は体ではなく可換環ですが整域です。

一方でmod4はこれを満たしませんでした。
ではmodは全て整域ではないのでしょうか？

例えば3を考えてみるとこれは整域です。

特にpを素数とし、mod pにおいては体となります。
きちんと書けばZ/pZが体となるでしょうか。
(なおZは整数全体の集合の意味)

つまり、当たり前のように使っていることができない世界もある！
そんな話でした。

あとがき的な

ノリと勢いで書いた記事だから年末に相応しくない酷い記事になった気もするけどまあ、笑

今当たり前のようにしていることができない世界がある。
うーんなんか現実世界のよう()

さてそんなことは置いておいて、
今年は何個記事書いたか分からないが、みなさま読んでいただきありがとうございました！

こんな素人のテキトーな記事ですが、たくさんの方にいいねをいただいたり、マガジンに追加してくださったりとしていただきました。

私自身ゆるーく書いて数人に見てもらったらいいや！と始めましたが、多い記事は100人を超える方が見ていただいたようでとても驚いております。

そんなこんなで来年はもっと多くの方に読んでいただけるような記事を書いていきたいので、来年もどうぞよろしくお願いいたします。

それではみなさま良いお年をお迎えください。