同相の先へ

以前私は下に貼ってある記事を書いた。
ここでは「合同」、「相似」と進んできた「図形を同じとみなす基準」についてをもう一歩進める「同相」という概念を扱った。
今回はそれをさらに前に進める「ホモトピー同値」をみてみる。
なお例によって数式などは全然扱わないので悪しからず。

同相を軽く復習すると、いい感じに動かして重なり合うならそれも同じとみなそう！というもの。
例えばゴムで三角形を作ることを考えて、それを破らずにマルに変えることができる。だからこの二つは同じとみなそう！
そんなノリだ。

そしてホモトピー同値は言語化すると「今までのものに加えて押しつぶして同じならまあ同じとみなそう」といった感じだろうか。
厳密には合成写像を考えて、、といった定義だがいったん置いておく。

例えば一点と円盤はホモトピー同値だ。
円盤を押しつぶしてやれば一点にすることができる。

他にも平面と直線もそうで、すべての点を直線におろしてきてやればいい。

このようにするともはやどんな図形も同じとみなせてしまいそうだが、究極の抽象化みたいで面白いなと思った。

あとがき的な

本当は違う記事を書こうと思っていたがタイミングよかったからこれで、、

ここまでいくと抽象化しすぎな気もするがそれは置いておいて、同相ですら同じと思えなかったのにここまでくると同じというのは無理がある気もする。
だがもちろん意味があるからこのような概念が生み出されたわけで、それは群が絡んでくる。
群を習ったときはこんなもの習う意味あるのか？と思っていたが、確かに有効だなと実感できた。