複素関数論を使って定積分の値を求める

この記事は上のアドベントカレンダーの10日目です。

はじめに解析学の教科書によく載っている冒頭画像の定積分を求めてみます。
いろいろな方法があるようですが、本記事では複素関数論の知識を活用して計算してみます。
教科書にも載っているような解法ではあるのですが、複素関数論のちょっとした復習にはなると思います。
※本記事を読むには大学2年（3年？）の複素関数論の知識が必要です。

考えるべき積分$${