『高校数学のロードマップ』B_1（参考編_集合編）3（自然数）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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〇自然数

●自然数

★順序的構造と代数的構造を持つ無限集合としての自然数

・さっき言ったZFC公理系のうち、まだ書いていなかった、残された最後の公理「無限公理」を追加すると、無限の個数を持つ集合、無限集合（むげんしゅうごう）が作れます。
自然数は無限集合の一種です。一番小さな自然数は（大学数学では0、高校数学では）1ですが、一番大きな自然数はありません。要するに、無限に大きくなるのです。
・ZFC公理系8種類を使うと、写像や順序数や代数的構造が作れます。ここまでは間違いありません。
これに、無限集合を作れる無限公理を入れたら、パッと考えて、順序的構造と代数的構造を持つ無限集合が出来るんじゃないか？　実際、そうなります。
そして、自然数は正にそれらの性質を兼ねそろえているものです。
 
・ということで、ようやく自然数までたどり着きました。書いた□□（犬神工房）が自分で言うのもひどい話なんですが、長かった。
一番最初が一番の難所だった、というのも、困った話です。しかし、集合というキーワードと、自然数というキーワードの間には、どうしてもかなり広い溝があるので、きちんと埋めようとしていたら、こうなってしまいました。
・なお、追加したロードマップを、いったんここで書いておきます。

！I.集合編（超詳細版）：
！！1：（対象→射→恒等射→）離散圏＝集合
！！2：集合（→圏→モノイド→記号）
！！3：（記号→等号付き一階述語論理の記号→ZFC公理系（の一部））
！！4：（ZFC公理系（の一部）→非順序対→順序対→直積→対応のグラフ→対応→像→写像）
！！5：（写像→順序数（としての0と1）→（大学数学レベルの）関数（としての後者関数）→）演算
！！6：演算→自然数

ここまでしないと集合から自然数が作れないのです。
（何て面倒なんでしょうね。
ここまで乗り切った〇〇さん（読者）は本当に偉いと思います。）
・まずは、ここまで読んで下さって、本当にありがとうございました。
お疲れ様でした。