『高校数学のロードマップ』B_1（参考編_集合編）2（演算）3（順序関係）

（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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★様々な順序のレベル

・ちなみに、ZFC公理系7種類を使うと、写像とは別に、順序的構造も作れたりします。
順序的構造の話もすると、高校数学で使う順序関係には、不等号（ふとうごう）”<”と、等号付き不等号（とうごうつきふとうごう）”≦”があります。これらについて、順序にもレベルがあるという考え方と共に、詳しく説明します。
羅列すると、

順序レベル0.順序対
順序レベル1.推移関係
順序レベル2.前順序
順序レベル3.半順序
順序レベル4.全順序

となります。
（本当はここから6ページは、脇道なのでやりたくないのですが、やらないとその先の話が出来なくなるので、しょうがないのです。正直に言うと、この項目の優先度はそれほど高くありません。いつの日か必要になるまで、飛ばしてもらって結構です。）
 
・まず、最も原始的な順序関係の話をします。順序対です。「名前が似ているので、なんか関係あるのか」と思うでしょうが、順序対を順序集合というものに変換するテクニックがあります。
順序集合とは、基本的には複数の元を持つ集合で、元の間に順序関係があるようなもののことです。あれ…？　同じ集合の元の間に、関係がある…？　さっき聞いたような気がするけど…？　そうです。実は、今まで聞いたことのなかった射や圏というキーワードですが、既に例として順序関係や順序集合があるのでした。順序集合は、集合ですが、実はそれ以上のもの、圏です。
（「先に言って欲しい」と思うかもしれませんが、高校数学で順序集合以外の圏が出て来ることはまずないので、圏の話をわざわざするニーズはほとんどありません。
そういう意味では、□□（犬神工房）は高校の時点では余計になるような話を今わざわざしているということになります。）
 
・順序対は基本的には複数の元を持つ集合で、元の位置をひっくり返せないものなのでした。順序集合も同様に、基本的には複数の元を持つ集合で、元の位置をひっくり返せません。
ということで、順序対の元の間に、射を引いてしまいます。これで、この射は順序関係と同一視できます。なんとこれで順序集合が出来てしまいました。
というか、そもそも、元々の順序対のことを、順序レベル0だと考えてもよいことにします。
（わざわざ順序レベル0という書き方をしているところに注意して下さい。
一般に、順序対は順序関係を持たないとされています。
□□もやはりそう思いますし、「順序対は、順序関係や順序集合の基礎となりうるが、順序関係や順序集合そのものではない」と考えているので、順序レベル0、という書き方になっています。）
 
・さて、”<”の話をします。
さっき言った順序集合の持つ順序関係の一種として、”<”を考えることが出来ます。
・“<”が満たさなければならない条件は、集合の元a, b, cがあるとして、a<b, b<cの場合、a<cとなることだけです。実際に、1<2 , 2<3の場合、1<3ですね。
（射で言っていた結合性を反映しているとも言えます。）
（なお、ジャンケンの手はこうではありません。グー<パー、パー<チョキですが、グー<チョキとはなりません。
そういう意味では、ジャンケンの手の構造は圏ではありませんし、順序集合でもありません。）
・このような条件を推移律（すいいりつ）と言い、このような関係を推移関係（すいいかんけい）と言います。順序レベル1くらいに考えて下さい。
（本当は順序レベル1にはもっとたくさんのものが含まれます。"<"も含みますが、”≦”も含みますし、なんと”=”すら含みます。かなりぎょっとしますね。でも、やってみれば分かりますが、実際に上の条件を満たすのです。）
 
・次の追加条件は、a≦aとなることです。「以上」や「以下」は自分自身を含むので、1≦1はちゃんと成り立ちます。（”<”はこれを満たさないのです。1<1とはなりません。）この条件を反射律（はんしゃりつ）と言います。そしてこれを満たす順序レベル2のことを前順序（ぜんじゅんじょ）と呼びます。
・「これで”≦”としては十分なのでは？」と一瞬思ってしまいますが、もう一つ追加条件が要ります。a≦b, b≦aのとき、a=bであることです。「以上であり以下であるのなら、結局それらは同じものである」ということです。高校数学で行う”≦”は、確かにこれも満たしています。この条件を反対称律（はんたいしょうりつ）と言います。そしてこれを満たす順序レベル3のことを半順序（はんじゅんじょ）と呼びます。
 
・なお、”≦”の条件としては半順序でいいのですが、自然数における”≦”の条件を考えた時、具体的には大小関係を考えた時、もう一つ加えなければならない条件があります。
・2点が一直線上に並んでいるようなら、全順序律（ぜんじゅんじょりつ）という条件が考えられます。a≦bかb≦aのどちらかが必ず成り立つし、どちらも成り立たないという状況がないようにする、というものです。これを満たす順序レベル4のことを全順序（ぜんじゅんじょ）と呼びます。
・全順序の例として、大小関係（だいしょうかんけい）を考えていただければ、分かりやすいかと思います。これについては、A本編のII.数編の自然数のところで説明することになります。
・自然数、（後で説明しますが、高度な数である）整数、有理数、実数は、2点が一直線上に並ぶので、大小関係を持ちます。
（ちなみに面上の点同士や、枝分かれする木の枝分かれの点同士は、それぞれ意味のある便利な道具ですが、全順序を持ちません。比べられない点同士があり得るからです。
後で説明しますが、非常に高度な数、複素数は、線ではなく面で表した方がいい数であり、半順序までしか持てないようになっています。）