普通に割って求めるのは、かなりの根気が必要です。 合同式の便利なところは、余りが同じものを探していけるところです。 大きい数より小さい数の方が考えやすいですよね。 探すときに多少の工夫は必要ですので、そこは練習を積んで慣れていきましょう。
剰余関係の問題で威力を発揮するのが合同式です。 高校によっては教えない学校もありますが、大学入試で整数問題が出たら、使わないのはもったいないです。 確かに知らなくても解けますが、スピードが断然違います。 合同式とは そう、余りに特化した武器です。 余りだけ考えるという素晴らしい武器です。 この問題を合同式という最強の武器を使えば、簡単にというより時間短くて解けます。 ぜひ合同式は身につけてください。 そして、整数問題を解く上での最強の武器にしてください。 次
(1)は3で割った余りで分類すれば問題ないです。 (2)はどう証明しますか。 ポイントは、「少なくとも」という言葉です。 場合の数・確率もそうですが、この言葉があるときは基本「逆を考える」です。 確率だと余事象、命題だと否定のことです。 なので、背理法が有効です。
2変数の整数解が無数にある方程式を不定方程式といいます。 これを利用すると、ある程度絞ることができます。 その1例がこの問題です。
2の倍数かつ3の倍数なら6の倍数なので、表すのは容易です。 では、2の倍数でも3の倍数でもない数はどう表しますか。 まずは6の倍数ではないので、6で割った余りを考えれば5パターンに分類できます。 ただ、余りが2と4にある場合は、2の倍数になっちゃいます。 また、余りが3になる場合は、3の倍数ですよね。 これらを除けば、残りが2の倍数でも3の倍数でもない数です。
9で割った余りで分類するのは大変です。 ただ、式を因数分解するとn^3までしか分解できないので、3で割った余りで分類できます。 あともう1つのポイントは、積の形になっているので、因数の１つが9の倍数であればいいということです。
3で割ったときの余りが同じであることの証明問題です。 どのような方針を立てればいいのでしょう。 本当に3で割って余りが同じになればいいのですが、文字が入るとそうはいきません。 余りが同じということは、引いたら余りがなくなる。 つまり、差が3の倍数になることを示せばいいのです。 3の倍数を示すには、3×(整数)の形にもっていくか、連続する３つの整数の積をつくればオッケーです。
最大公約数を求めるとき、素因数分解をすれば求められます。 ただ、37や61などの大きい素数の場合、見つけるのは困難です。 そこで役立つのがユークリッドの互除法です。 単に互除法と言ったりもします。 「ある2つの自然数a、bがあり、aをbで割った商をp、余りをrとしたとき、aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しい」 この性質を利用することにより、より小さな数で最大公約数を探すことができます。 文字を含む場合にも有効ですよ。
図形と整数の融合問題です。 ポイントは、直角三角形なので三平方の定理が出てくれば大丈夫です。
素数になるような…ときたらどう考えますか。 素数の性質 「1とその数以外に公約数をもたない」 つまり、素数pを積に直すと1×pしかないということです。 なので、与えられた式を因数分解すればいいわけです。
分母と分子に文字がある分数式を整数にするためのnを求める問題です。 分数に文字が２つある場合、(分子)÷(分母)をしてどちらか1つにします。 そうすれば一段と見やすくなります。
分数式が整数であるためには、nがどうであればいいのか。 分母が2と3と6ですから、nが6の倍数であればいいわけですが、単体で6の倍数であることをいうのは至難です。 6の倍数といえば… そう、連続する３つの整数の積です。 そのことに気づけば、あとは式変形するだけです。
整数問題なのに、有理数… 有理数とは分数で表せる数ですよね。 戸惑うかもしれませんが、実はよく見てみると、一部分が整数になれば有理数になるということです。 そう、解の公式の平方根の部分ですよね。
平方根が整数になるには、中身が平方の形になればいいですよね。 ただ、この問題の形だと探すのがかなり面倒ですし、漏れも出てきそうです。 どう絞っていけばいいのか。 やってみましょう。
平方根を自然数にするのには、素因数分解をして平方根の中身を平方数にすれば良いのです。 が、次の場合はどうしますか。 まずは、外に出せるものは出して… その後ですよね。 綺麗にはいかないですが、平方数にすればいいわけですから、絞れますよね。
解が整数のときは、解と係数の関係がやはり有効です。 2次方程式といえば、判別式もよく使いますが、判別式は解の種類や解をもつもたないで利用できます。 どちらも大事なので、使いこなせるようにしましょう。
