等差数列の話

今回は等差数列に関してお話します。最後に例題もあるのでぜひ最後まで聞いていってください！

等差数列

等差数列とは例えば

$$
1,3,5,7,9,11,13, \cdots
$$

のように各項の差が常に同じ（この場合は2）の数列です。この差のことを公差といいここでは$${d}$$で表します。等差数列では

$$
a_{n+1} -a_n=d \\
a_{n+1} =a_n+d
$$

が成り立ちます。このことを用いると

$$
a_2=a_1+d \\
a_3=a_2+d = a_1+2d \\
a_4=a_3+d = a_1+3d \\
\vdots
$$

のように言えます。このことから等差数列$${\{a_n\}}$$の一般項は公差を$${d}$$とすると

$$
a_n=a_1 +(n-1)d
$$

と表せます。例えば先ほどの

$$
1,3,5,7,9,11,13, \cdots
$$

の一般項は、初項$${a_1=1}$$で公差$${d=2}$$なので

$$
\begin{align*}
a_n
&=a_1 +(n-1)d \\
&=1+(n-1)\cdot2\\
&=1+2n-2 \\
&= 2n-1
\end{align*}
$$

となります。

例題

では例題を解いてみましょう。

例題　次の数列の一般項を求めよ。
(1) $${2,5,8,11,14, \cdots}$$
(2) $${6,2,-2,-6,\cdots}$$
(3) $${-5,-\frac{7}{2},-2,-\frac{1}{2},\cdots}$$

ではどうぞ。解いたらスクロールして答え合わせしてみてください。

解答

(1) この数列は初項が$${2}$$で公差が$${3}$$の等差数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=2+(n-1)\cdot3 = 3n-1
$$

となります。

(2) この数列は初項が$${6}$$で公差が$${-4}$$の等差数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=6+(n-1)\cdot(-4) = -4n+10
$$

となります。

(3) この数列は初項が$${-5}$$で公差が$${\frac{3}{2}}$$の等差数列なので、一般項$${a_n}$$は

$$
a_n=-5+(n-1)\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}n-\frac{13}{2}
$$

となります。

まとめ

今回は等差数列についてお話しました。等差数列とは同じ数だけ増えていく、もしくは減っていく数列でしたね。一般項を求めるのはよくある問題なので、繰り返し練習して覚えちゃいましょう！

それではまたお会いしましょう。