「この結び目、ほどける？」を考える数学の分野があるらしい【結び目理論】

結び目理論 (Knot theory) をゆるーく勉強し始めました。という報告と宣言の記事です。
※勉強し始めたばかりなのでズレた認識を持っているかもしれません。何かございましたらぜひご指摘いただければと思います。

結び目理論を"ざっくーーーり"言うと、タイトルにあるように、ひもを見て「この結び目はほどけるか」であったり「一見異なる結び目が実は片方を変形してもう片方になるか」というものを数学的に検証する分野です。

この結び目は切らずにほどけるのでしょうか？

入り口は"素朴"なのですが、結び目理論は代数的位相幾何学や組合せ的位相幾何学と呼ばれる数学の一大分野の考え方を随所に使います。

たとえば「切ったり貼り合わせたりせずに結び目を変形する」ということを数学的に表現する、つまり誰が見ても普遍的な操作として実現するためにはどのように定義されるのでしょうか。

$$
h:S^{3}\longrightarrow S^{3} は自己同相 \\
h(A)=B\\
H|_{S^{3}\times \{i\} } : S^{3}\times \{i\} \longrightarrow S^{3}\times \{i\} (i \in [0,1]) は自己同相\\
H|_{S^{3}\times \{0\} }=id_{S^{3}}\\
H|_{S^{3}\times \{1\} }=h
$$

少し雑に書いてしまいましたが上を満たすとき、結び目 $${A}$$ ,  $${B}$$ は"同値な結び目"と呼びます。

なかなか難解ですね…。
数学には結び目理論のように「一見簡単そうに見える入り口」でも精密に議論するためには一定の知識を前提とする分野があります。

一方で別の分野を勉強した経験により、前提知識がある程度備わっていれば勉強をスムーズに行えたりします。私自身、幸いなことに、代数的位相幾何学を勉強した経験があるので結び目理論の勉強は挫折せずに行えそうです。
※モチベーションが続くことが一番の問題です！笑

さて、また成果というか語れるものがありましたらnoteやサイトの方で書いていきたいと思います。
それでは最後までお読みいただきありがとうございました。