イプシロン-デルタ論法を宇宙一わかり易く説明します【問題と解説あり】
～極限の厳密な定義～
はじめに
高校までは「$${x}$$が$${a}$$に近づくとき、$${f(x)}$$が$${L}$$に近づく」という直感的な説明で極限を理解してきました。しかし、大学数学では、この「近づく」という概念をより厳密に定義する必要があります。そこで登場するのが「イプシロン-デルタ論法」です！
1. なぜイプシロン-デルタ論法が必要なの？
1.1 高校までの極限との違い
高校では：
「$${x}$$が2に近づくとき、$${x^2}$$は4に近づく」
グラフを見て直感的に理解
大学では：
「近づく」という言葉の曖昧さをなくしたい
数学的に厳密な定義が必要
証明可能な形にしたい
2. イプシロン-デルタ論法とは？
2.1 定義
$${\lim_{x \to a} f(x) = L}$$ であることを、以下のように定義します：
任意の正の数$${ε}$$（イプシロン）に対して、ある正の数$${δ}$$（デルタ）が存在して、 $${0 < |x - a| < δ}$$ ならば $${ |f(x) - L| < ε }$$ が成り立つ
3. 具体例で理解しよう
3.1 例題：
$${\lim_{x \to 2} x^2 = 4}$$ を証明
まず、証明したい不等式を立てる： $${ |x^2 - 4| < ε }$$
左辺を因数分解： $${ |(x+2)(x-2)| = |x+2||x-2| < ε }$$
$${ |x-2| < δ }$$ のとき、$${x}$$の範囲を考える： $${ 2-δ < x < 2+δ }$$ よって、$${ |x+2| < 6 }$$ （$${δ}$$は1より小さいと仮定）
したがって： $${ |x^2 - 4| = |x+2||x-2| < 6δ < ε }$$
$${ δ = ε/6 }$$ とすれば条件を満たす
つまり、任意の$${ ε > 0 }$$に対して、$${ δ = \min{1, ε/6} }$$とすれば証明完了！
4. イメージで理解する
極限の値$${L}$$を中心に、幅$${ε}$$の帯を考えます。
$${f(x)}$$の値が必ず$${ L \pm ε }$$の帯の中に入るような
$${x}$$の$${ a \pm δ }$$の範囲を見つけることが目標
5. よくある間違い
$${ε}$$と$${δ}$$を逆に考える
$${ε}$$は「与えられるもの」
$${δ}$$は「こちらで選ぶもの」
$${ 0 < |x - a| }$$ を忘れる
$${ x = a }$$のときは考えなくてよい
極限は「限りなく近づく」という概念
6. 練習問題
問題1（基本）
$${\lim_{x \to 1} 3x = 3}$$ をイプシロン-デルタ論法で証明せよ。
問題2（やや難しい）
$${\lim_{x \to 0} x^2 = 0}$$ をイプシロン-デルタ論法で証明せよ。
問題3（応用）
$${\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = 4}$$ をイプシロン-デルタ論法で証明せよ。
解答例（問題1）
示すべきことは：任意の$${ ε>0 }$$に対し、ある$${ δ>0 }$$が存在して、 $${ 0 < |x-1| < δ }$$ ならば $${ |3x-3| < ε }$$
$${ |3x-3| = 3|x-1| }$$ より、 $${ 3|x-1| < ε }$$ となればよい
したがって、$${ |x-1| < ε/3 }$$ となればよい
$${ δ = ε/3 }$$ とすれば証明完了
残りの問題は自分で挑戦してみましょう！
まとめ
イプシロン-デルタ論法は極限を厳密に定義する方法
$${ε}$$は「どれだけ近づけばよいか」を表す
$${δ}$$は「そのために必要な$${x}$$の範囲」を表す
具体例を通じて理解を深めることが大切
解き方のコツ：
まず $${ |f(x)-L| < ε }$$ の式を立てる
左辺を$${ |x-a| }$$を使って表現
適切な$${δ}$$を見つける
証明をまとめる
これでイプシロン-デルタ論法の基礎が理解できたはずです。たくさん練習して、極限の厳密な証明ができるようになりましょう！