Maxwell方程式の罠
よく自然現象を記述するうえで美しくまとまった方程式としてMaxwell方程式が紹介される。確かに4つの式で古典的な電磁気の諸現象をすべて記述できるのは驚くべきものだと思う。
この記事はそんなMaxwell方程式を正しく読む処方箋としてもらうことを目標として書いた。というのも、Maxwell方程式はたった4つの基礎方程式で与えられるため、意味を読み取るのは結構難しいのである。
今回はMaxwell方程式を読み取る上で間違えそうな点をピックアップしてそれについてちょっと議論してみようと思う。
まずはMaxwell方程式から
まず実際に電気と磁気についてMaxwell方程式を書き下してみよう。
$$
① div\bm{E} =\frac{ \rho}{\varepsilon_0}
$$
$$
② div\bm{B} = 0
$$
$$
③ rot\bm{E} = -\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}
$$
$$
④ rot\bm{B} = \mu_0 \bm{j} +\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \bm{E}}{\partial t}
$$
これらは一応全部法則名がついていて、
①電気に関するGaussの法則
②磁気に関するGaussの法則
③Faradayの法則
④Ampèreの法則
たいそうな名前がついてはいるが、聞き覚えのある人は多いんじゃないかと思う。式に戻ると、これらは全て微分方程式と呼ばれる方程式で、これらを解けばその位置と時間の電場および磁場が分かるということだ。（簡単に解けるとは言ってない）
余談
実はこのMaxwell方程式、積分形もあるのだけど、積分というのはそもそも「有限の範囲」を考えているため、例えば電荷が運動する場合なんかを考えると非常に難しくなる。これは相対論の考えが必要で、電荷は光速以下の速度で運動するため、空間上で電荷が遠くに行くとそれだけ時間がかかってしまう。そのため積分する際は空間に届く電荷の時間のずれを考慮してやらなきゃならないのだ。
その点微分形は言ってしまえば点（厳密にいうと無限小の体積）を考えているから、どんな状況であれ普遍的に成り立つ。
そういうわけで、Maxwell方程式を表すときは微分形が良く好んで使われるのである。
いやいや、今回僕が言いたかったのはこんなことではない。話が脇道にそれてしまったので元に戻そう。
Maxwell方程式の意味
もう一度Maxwell方程式を眺めてみてほしい。それぞれの意味を考えてみると、例えば①と②については
①電荷が存在するところからは電場の発散がある
②任意の空間上で磁場の発散はない
みたいな感じである。
では③と④はどうだろう。中学や高校でこれらの法則を習ったとき、こんな風に言われなかっただろうか。
③磁場が時間変化することによって、電場が生じる
④電場が時間変化することによって、磁場が生じる
果たして本当にそうだろうか、、、？
つまり、磁場は電場を作り、電場は磁場を作るだろうかということである。
先に答えを言っておくと、これは間違っている。
この捉え方がなぜ間違っているかは、とりあえず二つの観点から述べてみよう。
何がいけないのか
まず一つ目は、基本的にMaxwell方程式は同一時刻で考えている。ということは、例えば③の場合は磁場が変化したらその瞬間電場を生じさせていると言っているのだ。でもちょっと待ってほしい。電磁気的な相互作用は原則近接作用の立場をとっている。つまり何かが変化したら光速を超えない速さで空間上を伝播していくはずである。それなのに瞬間的に磁場が電場を生じさせているというのは、あたかも遠隔相互作用を要請しているように見える。④も同様である。
そのため電場と磁場どっちがどっちを作るという考えはあまりよろしくないような気がしてくる。
そして二つ目。今度はちゃんと式を見てみよう。電磁気的な相互作用は近接作用であることを踏まえると、Maxwell方程式の解もしっかり時間のずれを考慮する必要がありそうだ。そこで、Jefimenko方程式という物理的な近似解を与えてみる。
この方程式は、Maxwell方程式の解のひとつであり、自分自身の作り出す電磁場の影響を受けないことを前提として時間変動する電磁場の振る舞いを記述する。この式の導出は長ったらしい上に難解なので、今回は天下り的に与えさせてもらいたい。
早速電場と磁場（磁束密度）を与えてみると次のような式が得られる。
$$
\bm{E}(\bm{r},t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\Bigg[\Big(\frac{\rho(\bm{s},t_-)}{|\bm{r}-\bm{s}|^3} + \frac{1}{|\bm{r}-\bm{s}|^2}\frac{\partial\rho(\bm{s},t_-)}{\partial t}\Big)(\bm{r}-\bm{s}) - \frac{1}{|\bm{r}-\bm{s}|c^2}\frac{\partial \bm{j}(\bm{s},t_-)}{\partial t}\Bigg]dv^{'}
$$
$$
\bm{B}(\bm{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\Bigg[\frac{\bm{j}(\bm{s},t_-)}{|\bm{r}-\bm{s}|^3} + \frac{1}{|\bm{r}-\bm{s}|^2c}\frac{\partial\bm{j}(\bm{s},t_-)}{\partial t} \Bigg]\times(\bm{r}-\bm{s})dv^{'}
$$
ざっとこんなもんで、やたらと長いなと感じたかもしれない。でもよく見るとこれは結局時間に依存する（時間のずれを考慮した）Coulombの法則とBio-Savartの法則なのだ。
それでもこの式に拒否反応を示す人は、とりあえず変数に注目してほしい。つまり、電場と磁場は、それぞれどんな物理量に依存しているだろうか。
その答えは明らかで、どちらも電荷密度と電流密度（およびその時間変化）にしか依存しない。すなわち電場も磁場も、電荷と電流以外の原因で作り出されることはあり得ないのである。これは電場と磁場が、お互いの変化で生じ得ないことを式を通して明確に示してくれているのだ。
勘違いの正体と正しいMaxwell方程式の読み方
なぜこんな勘違いが生じてしまっているのか。それは物理における等式の意味が関係していると思われる。
数学において等式とは、同値のものをつなげるものであるが、物理で使われる等式も同じである。そこに「どちらがどちらを生じさせる」といったような「因果関係」は存在しない。式の背後に現象が見え隠れしているが故に、僕たちは等式から勝手に因果関係を作り出してしまうかもしれないが、それは間違っているのだ。そこには厳密な相関関係が表れているだけなのだ。
例えばまた③を例に取り上げると、同時刻で右左辺をそれぞれ計算すると、同じ値が得られるということである。その間にあるのは相関であり、互いに影響しあうと捉えてはいけない。ある時刻で電荷と電流が分布していて、それによって電場や磁場が作られると、常に③のような関係が成り立つ。④の場合も同様である。これがMaxwell方程式の正しい読み方である。
ちょっとだけ注意
こう言うとこのように考える人がいるかもしれない。
「④の電流密度は式の中にある電場と磁場を作り出しているのか？」
これは厳密に言うと違う。確かにさっき電流密度は電磁場を作り出すと言ったし、それは間違っていない。が、この式のすべての項は同一時刻にあるということを忘れてはならない。つまり電流密度の項は、（式の中にある）同時刻の電磁場を作り出すことはなく、後々に電磁場を作る。あくまで同時刻における物理量の相関を表しているのだ。
まとめ
これで僕の言いたいことはすべてである。言いたいことは伝わっただろうか。説明が下手くそすぎて申し訳なくなってくるが、すこしでも伝わってくれたならうれしい。
とにかく、今回僕が伝えたかったのは「Maxwell方程式はあくまで物理量同士の厳密な相関関係を表すものであり、因果関係を表すものではない。そのため電場の変化が磁場を作り出すことはないし、磁場の変化が電場を作り出すこともない。」ということである。
Maxwell方程式が最たる例だが、物理の諸法則を表す式は、簡潔に表されているほどその現象や式の意味を背後に隠してしまう。だから僕たちは式を見たら一度立ち止まってその意味を理解しようと試みることが大事だと改めて感じた。
やっぱり物理むずいね。さよなり。