公式は証明するから面白い 〜図形の体積と表面積〜

算数もしくは数学で登場する「公式」というもの。

記憶する余裕があればそのまま覚えれば良いが、導出する過程を知ることで、ひたすら暗記する作業が楽になることもある。少なくとも、私はそのクチである。

また、公式の背景を知ることの面白さもあるだろう。

今回は一例として、錐体の体積や表面積の「公式」を高等数学の知識を用いて導出してみようと思う。

導出過程を知ると記憶が楽になる

まずは全体的な背景の話。これは人それぞれだとは思うが、私は与えられた「公式」に対して何か疑問が出てきてしまうと、途端に記憶するのが苦しくなる。

今回のテーマのひとつは錐体の体積の話。公式は「底面積×高さ÷3」と習うが、どうして「3で割る」必要があるのか。結論から言うと、微分積分の計算過程で生じる係数である。

もちろん、他にどうしようもない時は無理して覚えてしまう。その方が早い場合もあるので。特に、錐体の体積を習うのは小学生の時なので、当時は与えられたものを素直に受け入れざるを得なかった。

一方で、公式の導出過程を知ることができれば、無理して覚えた部分を維持するための負荷が小さくなる。高校になると覚える公式が多く出てくるので、記憶の余裕を持たせることは重要な作業だと思う。

私はこの背景を知ったことで、己に課した記憶を楽にすることができたので、貴重な情報だった。

錐体の体積の導出

早速、角錐や円錐の体積「底面積×高さ÷3」の証明に入ろうと思う。昔に使用していた数学の教科書を引っ張り出した。

実際に公式の導出過程を書いたのが次の写真である。

これで「÷3」が出てくる理由が説明できた。公式を証明したことで、心身ともにスッキリした。

錐体の表面積の導出

続いて、円錐の表面積の導出を見てみる。久々で自分も少し戸惑ったが、中学レベルで導出できる公式（赤字）と積分結果が一致することがわかる。

微分積分を理解することで、こうした図形問題の由来を知ることができる。高等数学の中でも難しいとされる微分積分だが、こうした応用もあることを伝えたい。

数学好きの私のひとつの試みであり、願いである。

おわりに

理系的な記事を書くということで、今回は個人的に好きな「微分積分」の応用例のひとつを記事にしてみた。

ブログのジャンルとしてはマニアックな領域なので、どれだけ反響があるか楽しみであり不安である。

単に「公式」として覚えるだけではつまらないし、後々で記憶が苦しくなる。今回のようなアプローチがひとつの参考になれば幸いである。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。実際は非定期ですが、毎日更新する気持ちで取り組んでいます。あなたの人生の新たな１ページに添えるように頑張ります。何卒よろしくお願いいたします。

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