マックス・ボルンの1926年6月論文を読んでみよう（その１）

わずか５ページです。全文を本エントリの末尾に掲載しておきます。

1926年6月25日受理

これは予告編的な内容です。ボルン一派が提唱した「行列力学」は、原子のなかに電子がある場合にしか使えないのに対し、シュレディンガーによって提唱された「波動力学」は、電子が原子に衝突するケースについても取り扱い可能であるとボルンは洞察し、確率解釈すなわち非決定性を量子力学に見出すというものです。

繰り返します、そういう予告編です。

詳しい読解は次回に。

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Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge. [Vorläufige Mitteilung.1)) Von Max Born, Gottingen. (Eingegangen am 25. Juni 1926.)

1. Diese Mitteilung war ursprünglich für die „Naturwissenschaften“ bestimmt, konnte aber dort wegen Raummangel nicht aufgenommen werden. Ich hoffe, daß ihre Veröffentlichung an dieser Stelle nicht überflüssig erscheint.

Durch eine Untersuchung der Stoßvorgänge wird die Auffassung entwickelt, daß die Quantenmechanik in der Schrödingerschen Form nicht nur die stationären Zustände, sondern auch die Quantensprünge zu beschreiben gestattet.

Die von Heisenberg begründete Quantenmechanik ist bisher ausschließlich angewandt worden zur Berechnung der stationären Zustände und der den Übergängen zugeordneten Schwingungsamplituden (ich vermeide absichtlich das Wort „Übergangswahrscheinlichkeiten“). Dabei scheint sich der inzwischen weit entwickelte Formalismus gut zu bewähren. Aber diese Fragestellung betrifft nur eine Seite der quantentheoretisehen Probleme; daneben erhebt sich als ebenso wichtig die Frage nach dem Wesen der „Übergänge“ selbst. Hinsichtlich dieses Punktes scheint die Meinung geteilt zu sein; viele nehmen an, daß das Problem der Übergänge von der Quantenmechanik in der vorliegenden Form nicht erfaßt wird, sondern daß hier neue Begriffsbildungen nötig sein werden. Ich selbst kam durch den Eindruck der Geschlossenheit des logischen Aufbaues der Quantenmechanik zu der Vermutung, daß diese Theorie vollständig sein und das Übergangsproblem mit enthalten müsse. Ich glaube, daß es mir jetzt gelungen ist, dies nachzuweisen.

Schon Bohr hat die Aufmerksamkeit darauf gerichtet, daß alle prinzipiellen Schwierigkeiten der Quantenvorstellungen, die uns bei der Emission und Absorption von Licht durch Atome begegnen, auch bei der Wechselwirkung von Atomen auf kurze Entfernung auftreten, also bei den Stoßvorgängen. Bei diesen hat man es statt mit dem noch sehr dunklen Wellenfelde ausschließlich mit Systemen materieller Teilchen zu tun, die dem Formalismus der Quantenmechanik unterliegen. Ich habe daher das Problem in Angriff genommen, die Wechselwirkung eines freien Teilchens («-Strahls oder Elektrons) und eines beliebigen Atoms näher zu untersuchen und festzustellen, ob nicht innerhalb des Rahmens der vorliegenden Theorie eine Beschreibung des Stoßvorganges möglich ist.

Von den verschiedenen Formen der Theorie hat sich hierbei allein die Schrödingersche als geeignet erwiesen, und ich möchte gerade aus diesem Grunde sie als die tiefste Fassung der Quantengesetze ansehen. Der Gedankengang meiner Überlegung ist nun der folgende:

Wenn man quantenmechanisch die Wechselwirkung zweier Systeme berechnen will, so kann man bekanntlich nicht, wie in der klassischen. Mechanik, einen Zustand des einen Systems herausgreifen und feststellen, wie dieser von einem Zustande des anderen Systems beeinflußt wird, sondern alle Zustände beider Systeme koppeln sich in verwickelter Weise. Das gilt auch bei einem aperiodischen Vorgang, wie einem Stoße, wo ein Teilchen, sagen wir ein Elektron, aus dem Unendlichen kommt und wieder im Unendlichen verschwindet. Aber hier drängt sich die Vorstellung auf, daß doch sowohl vor als auch nach dem Stoße, wenn das Elektron weit genug entfernt und die Koppelung klein ist, ein bestimmter Zustand des Atoms und eine bestimmte, geradlinig-gleichförmige Bewegung des Elektrons definierbar sein muß. Es handelt sich darum, dies asymptotische Verhalten der gekoppelten Teilchen mathematisch zu fassen. Mit der Matrixform der Quantenmechanik ist mir das nicht gelungen, wohl aber mit der Schrödingerschen Formulierung.

Nach Schrödinger ist das Atom im n-ten Quantenzustand ein Schwingungsvorgang einer Zustandsgröße im ganzen Raume mit kon-stanter Frequenz $${1/h W_n^0}$$. We. Ein geradlinig bewegtes Elektron ist speziell ein solcher Schwingungsvorgang, der einer ebenen Welle entspricht. Kommen beide in Wechselwirkung, entsteht eine verwickelte Schwingung. Aber man sieht sogleich, dağ man diese durch ihr asymptotisches Verhalten im Unendlichen festlegen kann. Man hat ja nichts als ein „Beugungsproblem“, bei dem eine einfallende ebene Welle an dem Atom gebeugt oder zerstreut wird; an Stelle der Randbedingungen, die man in der Optik zur Beschreibung der Schirme verwendet, hat man hier die potentielle Energie der Wechselwirkung von Atom und Elektron.

Die Aufgabe ist also: man soll die Schrödingersche Wellengleichung für die Kombination Atom-Elektron lösen unter der Randbedingung, dab die Lösung in einer bestimmten Richtung des Elektronenraumes asymptotisch übergeht in eine ebene Welle eben dieser Fortschreitungsrichtung (das ankommende Elektron). Von der so gekennzeichneten Lösung interessiert uns nun wieder hauptsächlich das Verhalten der .gestreuten" Welle im Unendlichen; denn diese beschreibt das Verhalten des Systems nach dem Stoß. Wir führen das etwas näher aus. Es seien $${ψ_1^0}$$ $${q_k}$$, $${ψ_2^0}$$  $${q_k}$$, -.. die Eigenfunktionen des ungestörten Atoms (wir nehmen an, es gäbe nur eine diskrete Folge); dem ungestört (geradlinβy+γz+δ）}$$, die eine kontinuierliche Mannigfaltigkeit ebener Wellen bilden, deren Wellenlänge (nach de Broglie) mit der Energie τ der Translations-bewegung durch die Relation $${τ=h^2/{2μλ^2}}$$ verknüpft ist. Die Eigenfunktion des ungestörten Zustandes, bei dem das Elektron aus der + z-Richtung kommt, ist also

$${ψ_n^0 _τ(q_k, z)=ψ_n^0(q_k)sin2π/λz}$$.

Nun sei $${V(x, y, z; q_k)}$$ die potentielle Energie der Wechselwirkung von Atom und Elektron. Man kann dann mit Hilfe einfacher Störungsrechnungen zeigen, daß es eine eindeutig bestimmte Lösung der Schrödingerschen Differentialgleichung bei Berücksichtigung der Wechselwirkung V gibt, die für z →  +∞ asymptotisch in obige Funktion übergeht.

Es kommt nun darauf an, wie diese Lösungsfunktion sich „nach dem Stoß- verhält.

$${ψ_{nτ}^{(1)} (x, y, z; q_k)=∑_m∬_{αx+βy+γz>0}dωφ_{nm}{τ}(α, β, γ)sin k_{nm}_τ (αx+βy+γz+δ)ψ_m^0 (q_k)}$$.

Das bedeutet: die Störung läbt sich im Unendlichen auffassen als Super-position von Lösungen des ungestörten Vorgangs. Berechnet man die zur Wellenlänge $${λ_{nm}_τ}$$ gehörige Energie nach der oben angegebenen de Broglieschen Formel, so findet man

$${W_{nm}{τ}=hν{nm}^0+τ}$$.

wobei $${ν_{nm}^0}$$ die Frequenzen des ungestörten Atoms sind.

Will man nun dieses Resultat korpuskular umdeuten, so ist nur eine Interpretation möglich: $${φ_{nm}_τ (α, β, γ)}$$ bestimmt die Wahrscheinlichkeit 1) dafür, daß das aus der z-Richtung kommende Elektron in die durch α, β, γ bestimmte Richtung (und mit einer Phasenänderung 6) geworfen wird, wobei seine Energie $${τ}$$ um ein Quant $${hν_{nm}^0}$$} auf Kosten der Atomenergie zugenommen hat (Stoß erster Art für $${W_n^0 < W_m^0, hν_{nm}^0 < 0:}$$ Stoß zweiter Art für $${W_n^0>W_m^0, hν_m^0 < 0}$$).

1. Anmerkung bei der Korrektur: Genauere Überlegung zeigt, daß die Wahrscheinlichkeit dem Quadrat der Größe $${φ_{nm}_τ}$$, proportional ist.

Die Schrödingersche Quantenmechanik gibt also auf die Fraze nach dem Effekt eines Zusammenstoßes eine ganz bestimmte Antwort: aber es handelt sich um keine Kausalbeziehung. Man bekommt keire Antwort auf die Frage, „wie ist der Zustand nach dem Zusammenstote-, sondern nur auf die Frage, „wie wahrscheinlich ist ein vorgegebener Effekt des ZusammenstoBes* (wobei natürlich der quantenmechanische Energie satz gewahrt sein muß).

Hier erhebt sich die ganze Problematik des Determinismus. Vom Standpunkt unserer Quantenmechanik gibt es keine Größe, die im Einzelfalle den Effekt eines Stoßes kausal festlegt; aber auch in der Erfahrınz haben wir bisher keinen Anhaltspunkt dafür, daß es innere Eigenschaften der Atome gibt. die einen bestimmten Stoßerfolg bedingen. Sollen wir hoffen, später solche Eigenschaften (etwa Phasen der inneren Atombewegungen) zu entdecken und im Einzelfalle zu bestimmen” Oder seller. wir glauben, daß die Übereinstimmung von Theorie und Erfahrung in der Unfähigkeit, Bedingungen für den kausalen Ablauf anzugeben, eine prästabilierte Harmonie ist, die auf der Nichtexistenz solcher Bedingungen beruht? Ich selber neige dazu, die Determiniertheit in der atomaren Welt aufzugeben. Aber das ist eine philosophische Frage, für die physikalische Argumente nicht allein maßgebend sind.

Praktisch besteht jedenfalls sowohl für den experimentellen als auch den theoretischen Physiker der Indeterminismus. Die von den Experimentatoren viel untersuchte „Ausbeutefunktion" φ ist jetzt auch theoretisch streng fağbar. Man kann sie aus der potentiellen Energie der Wechselwirkung $${V(x, y, z; q_k)}$$ finden; doch sind die hierzu nütizen Rechenprozesse zu verwickelt, um sie an dieser Stelle mitzuteilen. lh will nur die Bedeutung der Funktion $${φ_{nm}}$$ mit einigen Worten erläutern.

Ist z. B. das Atom vor dem Stoß im Normalzustand $${n = 1}$$, so folgt aus

$${τ+hν_{1m}^0=τ-hν_{m1}^0=W_{1m}>0}$$,

daß für ein Elektron mit kleinerer Energie als die kleinste Anregungs stufe des Atoms notwendig auch $${m = 1}$$, also $${W_{11}τ = r}$$ sein muß: es erfolet also „elastische Reflexion“ des Elektrons mit der Ausbeute-tanktion $${ψ{11}_τ}$$. Ubersteigt τ die erste Anregungsstufe, so gibt es außer der Reflexion auch Anregung mit der Ausbeute $${φ_{12}τ}$$ usw. Ist das getroffene Atom im angeregten Zustand $${n = 2}$$ und $${τ<hν{21}^0y}$$, so gibt es Reflexion mit der Ausbeute $${φ_{22}τ}$$ und Stöße zweier Art mit der Ausbeute $${φ{21}τ}$$. Ist $${τ>hν{21}^0}$$, tritt dazu weitere Anregung usw.

Die Formeln geben also das qualitative Verhalten bei Stößen vollkommen wieder. Die quantitative Ausschöpfung der Formeln für spezielle Fälle muß einer ausführlichen Untersuchung vorbehalten bleiben.

Es scheint mir nicht ausgeschlossen, daß die enge Verknüpfung von Mechanik und Statistik, wie sie hier zum Vorschein kommt, eine Revision der thermodynamisch-statistischen Grundbegriffe erfordern wird.

Ich glaube ferner, dab auch das Problem der Ein- und Ausstrahlung von Licht in ganz analoger Weise als „Randwertaufgabe“ der Wellengleichung behandelt werden muß und auf eine rationelle Theorie der Dämpfung und Linienbreite im Einklang mit der Lichtquantenvorstellung führen wird. i

Eine eingehende Darstellung wird demnächst in dieser Zeitschrift erschemen.

英訳版も付けるよ⇩

https://www.neo-classical-physics.info/uploads/3/4/3/6/34363841/born_-_qm_for_collisions_i.pdf