超動くマンカラ番外編：カラハ一人勝ち問題（８）～お手玉ンカラ「Seethaipandi」を拡張する（後篇（予定））

前回の番外編はこちら。

スリランカに近いインドの南部で遊ばれている、一人で遊ぶマンカラ（この記事・マガジンでは「お手玉ンカラ」と呼んでいる）「Seethaipandi（シータイパンディ）」。
この遊びで使われているゲーム最初の石の配置――７から１まで並ぶ減少自然数数列が２組――をいろいろと変えてみるとどうなるか？
で、前回書いた記事は「穴に石１個を何組も並べた場合」と「ｎ（自然数）から１まで並ぶ減少自然数数列が２組並べた場合（例えば、ｎ＝４だと、４３２１４３２１）」について書きました。

今回は、数列３組の場合を実験して、発見したことを書いていきます。
３組なので、このお手玉ンカラを「SeethaiSANdi（シータイ３ディ）」と仮に呼びます。

【先にお断りしておきます】
今回の記事は（も？）、ボードゲームのトピックというよりも、数学（離散数学、もしくは実験数学）のトピックに寄っています。
その点を考慮の上、お読み下さい（と、前回も書けばよかったな）。

まずは、結果報告

「SeethaiSANdi（シータイ３ディ）」が、はたして成功しているのかどうか。
ちなみに、成功というのは「ゲーム開始後、ふたたび、ゲーム開始の盤面（石の配置と石を取る穴の位置）の状態に戻る」ことを指します。
※この特徴を持つお手玉ンカラについては、今までの過去記事を参照して下さい。

２の減少自然数数列３組（２１２１２１）から、７の減少自然数数列３組（７６５４３２１７６５４３２１７６５４３２１）の６パターンについて、遊んでみました。
結論は、全部できます。

全手順は書きませんが、実際にかかる手数と、途中にあらわれる「穴何個かズラすと、ゲーム開始の盤面と同じ状態」を１、２個取り出してみます。
なお、「◯手目」は動かした後の終了状態です（なので、最初は０手目）。
太字にした数字は次の手で石を動かす穴を示します。

【２】２１が３組

　０手：２１２１２１
　21手：１２１２１２
　42手：２１２１２１
（21手×２サイクル＝42　：穴３個シフト）

【３】３２１が３組

　０手目：３２１３２１３２１
　40手目：１３２１３２１３２
　80手目：２１３２１３２１３
　　…………………………
 360手目：３２１３２１３２１
（40手×９サイクル＝360　：穴７個シフト）

【４】４３２１が３組

　０手目：４３２１４３２１４３２１
　66手目：１４３２１４３２１４３２
 132手目：２１４３２１４３２１４３
　　……………………………………
1452手目：４３２１４３２１４３２１
（66手×12サイクル＝1452　：穴１個シフト）

【５】５４３２１が３組

　０手目：５４３２１５４３２１５４３２１
　93手目：１５４３２１５４３２１５４３２
 196手目：２１５４３２１５４３２１５４３
　　……………………………………………
1395手目：５４３２１５４３２１５４３２１
（93手×15サイクル＝1395　：穴６個シフト）

【６】６５４３２１が３組

　０手目：６５４３２１６５４３２１６５４３２１
　55手目：２１６５４３２１６５４３２１６５４３
 110手目：４３２１６５４３２１６５４３２１６５
　　…………………………………………………
 495手目：６５４３２１６５４３２１６５４３２１
（55手×９サイクル＝495　　：穴14個シフト）

【７】７６５４３２１が３組

　０手目：７６５４３２１７６５４３２１７６５４３２１
 176手目：１７６５４３２１７６５４３２１７６５４３２
 352手目：２１７６５４３２１７６５４３２１７６５４３
　　…………………………………………………………
3696手目：７６５４３２１７６５４３２１７６５４３２１
（176手×21サイクル＝3696　：穴１個シフト）

でした（間違えてなければ）。

恥ずかしながら、「３２１」の３組を試した時、30手くらいでできないな、と一旦諦めています。
また再開したのは、他のお手玉ンカラの検証をしたときにもっと長い手数をかけたので、打ち止めの天井が上がりました。

結果のなかに、説明していなかった「サイクル」があります。
これは、「穴何個かズラすと、ゲーム開始の盤面と同じ状態」から始めると
またことなる「穴何個かズラすと、ゲーム開始の盤面と同じ状態」になります（０手目と最終手以外に取り出したのは、これらのサイクルがわかる状態です）。
これをサイクルと呼ぶことにしました。
しかも、１サイクルにかかる手数は同じです。
なので、１サイクルにかかる手数×サイクル数＝総手数となります。

３つの波がある？

「２１」が３組と「３２１」が３組。
この２パターンの実験を終えて、全手順を比べてみると、両者に似通った特徴がありました。
１手でたくさんの石を動かすパターンが、周期的におこります。

◆「２１」が３組

・石３個の移動
４手目終了：１０４１３０（５手目で３個動かす：小波）
８手目終了：０１２１２３（９手目で３個動かす：小波）

：石４個の移動
５手目終了：２１４１０１（６手目で４個動かす：大波）
12手目終了：１０３０１４（13手目で４個動かす：大波）

∴石６個の移動
20手目終了：０１６１０１（21手目で６個動かす：津波⇒サイクル完成）

◆「３２１」が３組

・石５個の移動
７手目終了：２１０６２１５１０（８手目で５個動かす：小波）
14手目終了：５１０２１０３２１（15手目で５個動かす：小波）
21手目終了：３２４５１０２１０（22手目で５個動かす：小波）

：石６個の移動
８手目終了：３２１６２１０２１（９手目で６個動かす：大波）
18手目終了：１０２４０２１６２（19手目で６個動かす：大波）
28手目終了：２１６２１０５１０（39手目で６個動かす：大波）

∴石９個の移動
39手目終了：０２１０２１９２１（40手目で９個動かす：津波⇒サイクル完成）

小波・大波・津波とも呼べそうな波が３パータンあります。

小波：「２１」は４手周期、「３２１」は７手周期
大波：「２１」は７手周期、「３２１」は10手周期

そしてともに、小波は大波に飲み込まれます（合流？）。
「２１」：小波は13手目にはあらわれず、大波に発生。
「３２１」：コナミは29手目にはあらわれず、大波に発生。

最後の津波は、小波と大波が合流した、次の周期前後に発生します。

「２１」：大波13手目の次の周期は20手目。21手目に津波発生。
「３２１」：大波29手目の次の周期は39手目。40手目に津波発生。

さらに、１サイクルの手数は、

「２１」：大波７手周期の３倍＝１サイクル21手
「３２１」：大波10手周期の４倍＝１サイクル40手

と、関連性が見えます。

予想して実験

なので、「４３２１」３組を実験する前に、予想を立ててみました。

小波：（４→７→とくれば）10手周期にあらわれる
大波：（７→10→とくれば）13手周期にあらわれる
津波：大波13手周期の５倍＝１サイクル65手

で、実験開始（１手１手遊ぶ、ともいう）。
実験最中に何度かミスを犯したのですが、ありがたいことに、この予想によって修正することができました。

で、結果発表。

◆「５４３２１」が３組

・石７個の移動
11手目終了：３２１０８３２１７２１０（12手目で７個動かす：小波）
21手目終了：７２１０３２１０４７２１（22手目で7個動かす：小波）
31手目終了：４３６１７２１０３２１０（32手目で7個動かす：小波）
41手目終了：３２１０４３２５７２１０（42手目で7個動かす：小波）

：石８個の移動
12手目終了：４３２１８３２１０３２１（13手目で８個動かす：大波）
25手目終了：１０３２５０３２１８３２（26手目で８個動かす：大波）
38手目終了：２１８３２１０３６１０３（39手目で８個動かす：大波）
51手目終了：７２１０３２１８３２１０（52手目で８個動かす：大波）

∴石１２個の移動
65手目終了：12３２１０３２１０３２１（66手目で12個動かす：津波⇒サイクル完成）

でした。
実際の津波は、予想よりも１手遅かった。
とはいえ、おおよそ予想通りになっていました。

この予想を、さらに先まで一般化すると、

「ｎ（n-1）……４３２１」３組の「SeethaiSANdi」の総手順予想
（ｎは２以上自然数）

小波：（２ｎ＋１）手周期にあらわれる（４、７、10、13、……）
大波：（３ｎ＋１）手周期にあらわれる（７、10、13、16、……）
津波：ｎ（３ｎ＋１）周期。１サイクルにあたる。

です。
これに当てはまらない例外もあります。
すでに実例としてあげているものは「６５４３２１」３組。
予想だと、１サイクルが６×１９＝124手になりますが、もっと短く55手です。
しかも通常、元の盤面の自体になるには、穴の数だけ同じサイクル数を書けなければなりませんが、「６５４３２１」３組は、18サイクルではなく、半分の９サイクルです。
「２１」３組の場合も６サイクルではなく、２サイクルで成功します。

例外が起こる場合には、何らかの特別な数字（マジックナンバー）が関わっていそうです。

侮れないさざ波

この先の４組の場合「SeethaiYONdi（シータイ４ディ……しつこい）」も２、３パターン試しています。
「２１２１２１２１」を試してみましたが、どうやら不可能のようです。

「SeethaiSANdi（シータイ３ディ）」には小波・大波・津波の３つある、と書きましたが、実はもう１つさざ波が存在します。
３つの波が発生する間にある、動かす石が少ない手です。
通常の「Seethaipandi（シータイパンディ）」など、「３２１３２１」のような２組の場合は、すべて小波・大波・津波しかあらわれませんでした。
３組以上になって、はじめて現象が発生します。
このさざ波は、数列の長さをｎとすると、石ｎ個もしくは（ｎ＋１）個を動かす手です。

数列の長さが長くなると、さざ波の動かす石の数（最大（ｎ＋１）個）と、小波の動かす石の数（２ｎ＋１）の差が大きくなりますので、干渉しなくなります。
しかも、数列の長さが長くなれば、穴１つに対しての石の増加量も比例して増加するので、石の枯渇による破綻も起こらなくなります。

数列の組がどんどん増えると、津波で動かす石の数がたくさん必要になります。そのために準備として、今度は小波や大波の発生する数が増えてきますので、その分石が必要になります。
しかし、数列の組が増える場合、穴１つに対しての石の数はかわりません。
それにより、小波から大波、津波へと大きくなる前に、石が枯渇して波が礫れしまうのではないか、と推論します。

「２１２１２１２１」は、100手ほどまで実験しましたが、25手目で石６個移動があらわれましたが、そのあとは、石３個４個の波が散発的に続く状態で、その後大きい波があらわれるのか、さらに続けないとわかりません。

締め

えらく長くなってしまいました。
「Seethaipandi（シータイパンディ）」の一般拡張の話は、ここで一旦区切ります。
もしかすると続くかも知れませんが、他のことをやらねばだし、やりたい。

次回は、本編にもどるのか、はたまたまだまだ番外編かは、未定です。
考えます。

では。