アインシュタインタイルを１列に並べた「GSP」「GSE」を愛でてみる、ようやっと愛でてみる。
前回の記事はこちら。
GSE――Goleden Sturmian Edge――のStumian（スターミアン）のほうが気になって書いたのが前回でした。
ということで、ようやっと愛でます。
GSPのなかにGSEが２つ
前回、GSEを説明する際に図を用いました。
黄色と赤色が１列に並んだ箇所です。
これをGSE、と示したのですがちょっと違ってまして、これはGSP――Golden Sturmian Patch――になります。
先の図を９０度回転してGSEの周辺を切り取ったのが下の図になります。
上（緑線）と下（青線）の２箇所がそれぞれGSEです。
で、これを１８０度回転します。
なんじゃこりゃ？
タイルはひっくり返っています。
GSEもひっくり返って（色も入れ替わって）いるはずなのに、形状は同じです。
これがGSEの特徴の１つです。
論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の１０ページにも、強調した図があります（「Palindrome」は、日本語だと「回文」です）。
Figure 13
https://arxiv.org/abs/2307.12322
菱形の盤面は省エネ制作？
日本テセレーションデザイン協会代表の荒木義明さんから提供していただいた、アインシュタインタイルマスの２つの盤面があります。
それぞれの盤面の中央を横切るGSPですが、これらはGolden Hex SubstitutionのPD₂とZD₃に含まれています。
左図がPD₂です。
右図は、赤の部分がGSPで、黄色の部分がT₂です。
GSPの下のGSEにT₂が接しており、GSPの上のGSEに新たなＴ₂を組み合わせると、４×４の菱形の盤面ができます。
左図がZD₃です。
右図は、赤で囲った箇所がGSPで、黄色の部分がT₃です。
これも同様に新たなＴ₃を組み合わせると、１２×１２の菱形の盤面ができます。
これを応用すれば、他（例として、下図はPD₃）から菱形の盤面を作ることもできます。
ちなみにGolden Hex SubstitutionのPD、ZD、ZTは、名称にGSEが関わっています。
論文読んで、Golden Hexを愛でていただき有難うございます！
— Yoshiaki Araki 荒木義明 (@alytile) August 15, 2023
パッチタイルには三角形のT(Triangle),平行四辺形に二つGSEがついたPD(Parallelogram with Double GSE),台形に二つGSEがついたZD(trapeZoid with Double GSE),台形に三つGSEがついたZT(trapeZoid with Triple GSE)の四種があります。
パッチタイルには三角形のT(Triangle),平行四辺形に二つGSEがついたPD(Parallelogram with Double GSE),台形に二つGSEがついたZD(trapeZoid with Double GSE),台形に三つGSEがついたZT(trapeZoid with Triple GSE)の四種があります。
Figure 7
https://arxiv.org/abs/2307.12322
※色線は、珍ぬが付け加えました
GSEとスターミアン文字列
GSEは２つの向きのタイルを１列にならべたものです。
回転して向きが変わっているだけではなく、一方は他方の裏返しになっています。
前回の記事で触れましたSturmian Word（スターミアン文字列）をつかって表すことができます。
論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の９ページにあります。
$${S_0=0,S_1=001,S_n=S_{n-1}S_{n-2}}$$
最初の数項を書き出すと、
第０項 0
第１項 001
第２項 0010
第３項 0010001
第４項 00100010010
第５項 001000100100010001
第６項 00100010010001000100100010010
………
となります。
論文「An alternative proof for an aperiodic monotile」の１０ページに、Golden Hex SubstitutionにあらわれるGSPの変遷が図解されています。
上図では、２つのタイルをaとDで表しています。
aを0、Dを1として置き換えると、
です。
上の段は、奇数番目（１、３、５、……）の項の文字列から右２文字分（０１）を除いた文字列が並んでいます。
第１項 001 → 0 （-01）
第３項 0010001 → 00100 （-01）
第５項 001000100100010001 → 0010001001000100 （-01）
そして、それぞれの文字列は回文になっています。
下の段は、偶数番目（０、２、４、６……）の項の文字列が並んでいます。
これも同様に（第０項は例外として、）それぞれの文字列から右２文字分（１０）を除くと回文になります。
第０項 0 （例外）
第２項 0010 → 00 （-10）
第４項 00100010010 → 001000100 （-10）
第６項 00100010010001000100100010010 →
001000100100010001001000100 （-10)
前回の記事で触れた、フィボナッチ列（文字列）をビリヤード数列であらわしたような方法で、GSEの値を求めることができます。
フィボナッチ列は、黄金比から１を引いた数
$${\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = 0.618…}$$
でしたが、GSEは論文の１０ページをみると、
$${\frac{5-\sqrt{5}}{10} = 0.276……}$$
となります。
ところで、なぜGSEにGolden（黄金）と含まれているかというと、フィボナッチ列の値をGSEにあわせて分母を１０にすると、
$${\frac{1-\sqrt{5}}{2} =\frac{5-5\sqrt{5}}{10}}$$
とあらわせるからでは、と思われます。
締めとおまけ
ということで、GSEそしてGSPを愛でてみました。
配置パターンによって敷き詰めが広がっていくと、GSPがどんどん増えていきます。
例えば、ZT₃には下図のように赤および青の点線を引いた箇所がGSPになっています。
内側には長いGSPが１箇所（赤）と、
短いGSPが１４箇所（青）あります。
はい、おまけでした。
次回もよろしくです。
では。