GPT-4oに東大入試を解かせた結果・・・
１ GPT-4oに解かせた問題
今回解かせたのは、東京大学令和6(2024)年度第2次学力試験数学（文科）第1問です。
２ 解かせた結果の概要
・（１）について
１回目 不正解
↓
間違いの部分をチャットで指摘後、正解
・（２）について
１回目 正解
・（３）について
途中まで正解。しかし、一般性が欠けていた。
↓
一般性が欠けていることをチャットで指摘
↓
概ね正解に近づく
↓
関数の増減を確かめる必要性をチャットで指摘
↓
正解と思われる
３ 各問の詳細
・（１）について
以下の内容が、最初にGPTが回答したものです。
与えられた条件に基づいて、放物線 $${C: y = ax^2 + bx + c }$$ が、点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ と $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ を通り、それらの点において円 $${ x^2 + y^2 = 1 }$$ と共通の接線を持つことを考慮します。
### 1. 点 $${ P }$$ と $${ Q }$$ が放物線上にあること
まず、点 $${ P }$$ と $${ Q }$$ が放物線上にあるという条件を式にします。
点$${ P(\cosθ, \sinθ) }$$について：
$${ \sinθ = a (\cosθ)^2 + b (\cosθ) + c }$$
点 $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ について：
$${ \sinθ = a (\cosθ)^2 - b (\cosθ) + c }$$
### 2. 接線の条件
放物線 $${ y = ax^2 + bx + c }$$ の接線の傾きは微分して求められます。接線の方程式は次の通りです：
$${ y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1) }$$
ここで、$${ f'(x) = 2ax + b }$$ です。
点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ における接線の傾き：
$${ f'(\cosθ) = 2a\cosθ + b }$$
点 $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ における接線の傾き：
$${ f'(-\cosθ) = -2a\cosθ + b }$$
### 3. 円 $${ x^2 + y^2 = 1 }$$ の接線の傾き
点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ における円の接線の傾き：
$${ \frac{dy}{dx} = -\cotθ }$$
この傾きは、放物線の接線の傾きと一致する必要があります。従って、
$${ 2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
点 $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ における円の接線の傾きも同じです：
$${ -2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
### 4. 式を解く
これらの方程式を解きます。
$${ 2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
$${ -2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
これらを加算すると：
$${ 2b = -2\cotθ }$$
$${ b = -\cotθ }$$
次に、これらの式を引き算すると：
$${ 4a\cosθ = 0 }$$
$${ a = 0 }$$
### 5. $${ a, b, c }$$ の値を決定
$${ a = 0 }$$ であるため、放物線は次の形になります：
$${ y = bx + c }$$
点 $${ P }$$についての条件：
$${ \sinθ = b\cosθ + c }$$
点 $${ Q }$$ についての条件も同様です：
$${ \sinθ = -b\cosθ + c }$$
これらの式を加算すると：
$${ 2\sinθ = 2c }$$
$${ c = \sinθ }$$
次に、これらの式を引き算すると：
$${ 0 = 2b\cosθ }$$
$${ b = 0 }$$
### 結論
以上より、放物線の係数 $${ a, b, c }$$ は次の通りです：
$${ a = 0 }$$
$${ b = 0 }$$
$${ c = \sinθ }$$
よって、放物線の方程式は次のようになります：
$${ y = \sinθ }$$
ただし、この結果は定数関数であり、与えられた条件から導かれる結果として、明らかに接線条件を満たしているようには見えません。再度条件を見直す必要があるかもしれません。
この回答は、上述した通り間違っています。
ただし、接線の条件と照らし合わせて、自分の回答が間違っていると判断できていることは注目すべきことでしょう。要は、回答について吟味できるわけです。
最初の回答で正しい答えにたどり着けなかったので、その理由をチャットで次のように指摘しました。
すると、次のような回答をくれました。
正しい答えまでたどり着いています。
ただ、$${c}$$の値の中に$${/sinθ}$$と$${s}$$が混在してしまっているところだけが残念でした。
指摘ありがとうございます。点 $${ Q }$$ における接線の傾きを再考し、正しく導く必要があります。正しい条件は次のようになります：
放物線 $${ y = ax^2 + bx + c }$$ が点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ および $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ を通り、これらの点で円 $${ x^2 + y^2 = 1 }$$ と共通の接線を持つことを確認します。
### 1. 点 $${ P }$$ と $${ Q }$$ が放物線上にあること
点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ において：
$${ \sinθ = a (\cosθ)^2 + b (\cosθ) + c }$$
点 $${ Q(-\cosθ, \sinθ) において：
$${ \sinθ = a (\cosθ)^2 - b (\cosθ) + c }$$
これらの方程式を整理すると次のようになります：
1. $${ \sinθ = a \cos^2θ + b \cosθ + c }$$
2. $${ \sinθ = a \cos^2θ - b \cosθ + c }$$
### 2. 接線の条件
放物線の接線の傾きは次のように求められます：
$${ \frac{dy}{dx} = 2ax + b }$$
円 $${ x^2 + y^2 = 1 }$$ の接線の傾きは、点 $${ (\cosθ, \sinθ) }$$ および $${ (-\cosθ, \sinθ) }$$ において $${ y = \sinθ }$$ であることから求めます。接線の傾き $${ m }$$ は次のように与えられます：
$${ m = -\cotθ }$$
したがって、接点 $${ P }$$ と $${ Q }$$ における放物線の接線の傾きはそれぞれ次のようになります：
点 $${ P(\cosθ, \sinθ) }$$ において：
$${ 2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
点 $${ Q(-\cosθ, \sinθ) }$$ において：
$${ -2a\cosθ + b = \cotθ }$$
### 3. 方程式を解く
これらの方程式を整理します。
$${ 2a\cosθ + b = -\cotθ }$$
$${ -2a\cosθ + b = \cotθ }$$
この2つの式を解きます。
加算すると：
$${ 2b = 0 }$$
$${ b = 0 }$$
引き算すると：
$${ 4a\cosθ = -2\cotθ }$$
$${ 2a\cosθ = -\cotθ }$$
$${ a = -\frac{\cotθ}{2\cosθ} }$$
$${ a = -\frac{\cosθ/\sinθ}{2\cosθ} }$$
$${ a = -\frac{1}{2\sinθ} }$$
$${ a = -\frac{1}{2s} }$$
（ここで、$${ s = \sinθ }$$ です）
### 4. $${ c }$$ の値を求める
次に、$${ b = 0 }$$ であるため、元の方程式に代入して $${ c }$$ を求めます。
$${ \sinθ = a \cos^2θ + c }$$
$${ \sinθ = -\frac{1}{2\sinθ} \cos^2θ + c }$$
$${ \sinθ = -\frac{\cos^2θ}{2\sinθ} + c }$$
ここで、$${ \cos^2θ = 1 - \sin^2θ = 1 - s^2 }$$ ですから：
$${ \sinθ = -\frac{1 - s^2}{2s} + c }$$
$${ \sinθ = -\frac{1}{2s} + \frac{s^2}{2s} + c }$$
$${ \sinθ = -\frac{1}{2s} + \frac{s}{2} + c }$$
$${ \sinθ = -\frac{1}{2s} + \frac{s}{2} + c }$$
$${ c = \sinθ + \frac{1}{2s} - \frac{s}{2} }$$
### 結論
したがって、放物線の係数 $${ a, b, c }$$ は次のように表されます：
$${ a = -\frac{1}{2s} }$$
$${ b = 0 }$$
$${ c = \sinθ + \frac{1}{2s} - \frac{s}{2} }$$
ここで、$${ s = \sinθ }$$ です。
よって、放物線の方程式は次のようになります：
$${ y = -\frac{1}{2s} x^2 + \left(\sinθ + \frac{1}{2s} - \frac{s}{2}\right) }$$
・（２）について
以下のような回答を最初からできました。
これは正解です。
放物線 $${ y = \frac{s^2 + 1 - x^2}{2s} }$$ と $${ x }$$-軸で囲まれた部分の面積 $${ A }$$ を求めます。
### 1. 放物線と $${ x }$$-軸の交点を求める
放物線が $${ x }$$-軸と交わる点を求めます。これは $${ y = 0 }$$ である点です。
$${ 0 = \frac{s^2 + 1 - x^2}{2s} }$$
この方程式を解くと、
$${ s^2 + 1 - x^2 = 0 }$$
$${ x^2 = s^2 + 1 }$$
$${ x = \pm \sqrt{s^2 + 1} }$$
したがって、放物線は $${ x = -\sqrt{s^2 + 1} }$$ と $${ x = \sqrt{s^2 + 1} }$$ で $${ x }$$-軸と交わります。
### 2. 面積の計算
面積 $${ A }$$ は、放物線と $${ x }$$-軸の間の領域の積分によって求められます。
$${ A = 2 \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} \frac{s^2 + 1 - x^2}{2s} \, dx }$$
積分を計算するために次のステップを踏みます：
$${ A = \frac{1}{s} \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} (s^2 + 1 - x^2) \, dx }$$
積分を分解します：
$${ \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} (s^2 + 1 - x^2) \, dx = \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} (s^2 + 1) \, dx - \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} x^2 \, dx }$$
それぞれの積分を計算します：
1. $${\int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} (s^2 + 1) \, dx}$$
$${ (s^2 + 1) \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} 1 \, dx = (s^2 + 1) \left[ x \right]_0^{\sqrt{s^2 + 1}} = (s^2 + 1) \cdot \sqrt{s^2 + 1} }$$
2. $${\int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} x^2 \, dx}$$
$${ \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{s^2 + 1}} = \frac{(\sqrt{s^2 + 1})^3}{3} = \frac{(s^2 + 1)^{3/2}}{3} }$$
これらをまとめて：
$${ \int_0^{\sqrt{s^2 + 1}} (s^2 + 1 - x^2) \, dx = (s^2 + 1) \cdot \sqrt{s^2 + 1} - \frac{(s^2 + 1)^{3/2}}{3} }$$
$${ = \frac{3(s^2 + 1)^{3/2}}{3} - \frac{(s^2 + 1)^{3/2}}{3} }$$
$${ = \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3} }$$
面積 $${ A }$$ は次のようになります：
$${ A = \frac{1}{s} \cdot \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3} }$$
$${ A = \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} }$$
### 結論
放物線 $${ y = \frac{s^2 + 1 - x^2}{2s} }$$ と $${ x }$$-軸で囲まれた部分の面積 $${ A }$$ は次のように表されます：
$${ A = \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} }$$
これは、かなりすごいのではないでしょうか。
・（３）について
最初に次のような回答を得ました。
面積 $${ A }$$ が $${ \sqrt{3} }$$ 以上であることを示します。ここで、$${ A }$$ は次のように表されます：
$${ A = \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} }$$
これが $${ \sqrt{3} }$$ 以上であることを示すために、不等式 $${ A \geq \sqrt{3} }$$ を解きます。
$${ \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} \geq \sqrt{3} }$$
まず、両辺を $${ \sqrt{3} }$$ で割ります。
$${ \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s\sqrt{3}} \geq 1 }$$
$${ \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s\sqrt{3}} \geq 1 }$$
次に、両辺を $${ 3s\sqrt{3} }$$ で掛けます。
$${ 2(s^2 + 1)^{3/2} \geq 3s\sqrt{3} }$$
両辺を2で割ります。
$${ (s^2 + 1)^{3/2} \geq \frac{3s\sqrt{3}}{2} }$$
これをさらに簡略化するために、両辺の2乗を取ります。
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \left(\frac{3s\sqrt{3}}{2}\right)^2 }$$
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \frac{9s^2 \cdot 3}{4} }$$
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \frac{27s^2}{4} }$$
両辺を4で掛けます。
$${ 4(s^2 + 1)^3 \geq 27s^2 }$$
これを展開します。
$${ 4(s^6 + 3s^4 + 3s^2 + 1) \geq 27s^2 }$$
左辺を展開すると、
$${ 4s^6 + 12s^4 + 12s^2 + 4 \geq 27s^2 }$$
次に、両辺から $${ 27s^2 }$$ を引きます。
$${ 4s^6 + 12s^4 + 12s^2 + 4 - 27s^2 \geq 0 }$$
$${ 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 \geq 0 }$$
ここで、 $${ 0 < \theta < 90^\circ }$$ なので $${ 0 < s \leq 1 }$$ です。この範囲での評価を行います。
試しにいくつかの値を代入してみます。
#### 例えば、$${ s = 1 }$$:
$${ 4(1)^6 + 12(1)^4 - 15(1)^2 + 4 = 4 + 12 - 15 + 4 = 5 }$$
これは正です。
#### 例えば、$${ s = \frac{1}{2} }$$:
$${ 4\left(\frac{1}{2}\right)^6 + 12\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 15\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 = 4 \cdot \frac{1}{64} + 12 \cdot \frac{1}{16} - 15 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{16} + \frac{3}{4} - \frac{15}{4} + 4 }$$
$${ = \frac{1}{16} + \frac{12}{16} - \frac{60}{16} + \frac{64}{16} = \frac{1 + 12 - 60 + 64}{16} = \frac{17}{16} }$$
これも正です。
#### 例えば、$${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$:
$${ 4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 + 12\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 - 15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 4 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 12 \cdot \frac{1}{4} - 15 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{2} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = \frac{1}{2} + 3 - 7.5 + 4 = 0 }$$
これも正です。
以上から、この条件下で$${ 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 \geq 0 }$$ は常に成り立ちます。したがって、$${ A \geq \sqrt{3} }$$ は正しいことが示されました。
この回答は、次の箇所より前に関しては正しいです。
ここで、 $${ 0 < \theta < 90^\circ }$$ なので $${ 0 < s \leq 1 }$$ です。この範囲での評価を行います。
不等式の評価をするときに、具体的な値を代入して、その不等式の正しさを評価しました。
しかしそれでは、一般性が欠けています。
なので、次のように指摘しました。
すると、次のような回答を得ました。
ご指摘ありがとうございます。一般的な証明を行うためには、不等式 $${ A \geq \sqrt{3} }$$ を直接証明します。
### 不等式の証明
$${ A = \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} \geq \sqrt{3} }$$
この不等式を証明するために、両辺を3sで掛けます。
$${ 2(s^2 + 1)^{3/2} \geq 3s\sqrt{3} }$$
次に、両辺を2で割ります。
$${ (s^2 + 1)^{3/2} \geq \frac{3s\sqrt{3}}{2} }$$
この不等式を示すために、次に両辺を2乗します。
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \left(\frac{3s\sqrt{3}}{2}\right)^2 }$$
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \frac{9s^2 \cdot 3}{4} }$$
$${ (s^2 + 1)^3 \geq \frac{27s^2}{4} }$$
次に、両辺を4倍します。
$${ 4(s^2 + 1)^3 \geq 27s^2 }$$
この不等式を証明します。
$${ 4(s^2 + 1)^3 - 27s^2 \geq 0 }$$
### 左辺を展開する
左辺を展開します。
$${ 4(s^2 + 1)^3 - 27s^2 }$$
$${ 4(s^6 + 3s^4 + 3s^2 + 1) - 27s^2 }$$
$${ 4s^6 + 12s^4 + 12s^2 + 4 - 27s^2 }$$
$${ 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 }$$
これが非負であることを示す必要があります。
### 解析的に証明
解析的に示すためには、この式の臨界点を調べます。臨界点は導関数を0に等しくして求めます。
$${ f(s) = 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 }$$
まず導関数を求めます。
$${ f'(s) = 24s^5 + 48s^3 - 30s }$$
これを0に等しくします。
$${ 24s^5 + 48s^3 - 30s = 0 }$$
$${ 6s(4s^4 + 8s^2 - 5) = 0 }$$
ここで、$${ s = 0 }$$ は $${ 0 < s \leq 1 }$$ には該当しないため、
$${ 4s^4 + 8s^2 - 5 = 0 }$$
これは2次方程式の形に変換します。置き換え $${ u = s^2 }$$ を行います。
$${ 4u^2 + 8u - 5 = 0 }$$
解の公式を使って解きます。
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm 12}{8} }$$
$${ u = \frac{4}{8} \text{ or } u = \frac{-20}{8} }$$
$${ u = \frac{1}{2} \text{ or } u = -2.5 }$$
しかし、 $${ u = s^2 }$$ なので、 $${ u \geq 0 }$$ です。
したがって、
$${ s^2 = \frac{1}{2} }$$
$${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$
### 不等式の評価
$${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ の範囲内の値を評価します。
この範囲内で、$${ f(s) }$$ の値を確認します。 $${ f(0) }$$ および $${ f(1) }$$ の値を確認します。
$${ f(1) = 4(1)^6 + 12(1)^4 - 15(1)^2 + 4 = 4 + 12 - 15 + 4 = 5 }$$
これは正です。
$${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ での評価を行います。
$${ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 + 12\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 - 15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 4 }$$
$${ = 4\left(\frac{1}{8}\right) + 12\left(\frac{1}{4}\right) - 15\left(\frac{1}{2}\right) + 4 }$$
$${ = \frac{4}{8} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = \frac{1}{2} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = \frac{1}{2} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = 0 }$$
この範囲内で常に成り立つことが分かります。
したがって、$${ 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 \geq 0 }$$ は一般的に成り立ちます。
したがって、$${ A \geq \sqrt{3} }$$ が正しいことが示されました。
解析的に証明しようとしています。
これは、人間がとる手段と同じです。
ただ、増減表を作って、単調に増加・減少する範囲の言及が不足しているため、次のことを指示しました。
了解しました。関数 $${ f(s) = 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 }$$ の増減を調べるために、その導関数 $${ f'(s) }$$ の符号を確認します。
### 関数の導関数
まず、導関数 $${ f'(s) }$$ を求めます。
$${ f(s) = 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 }$$
$${ f'(s) = 24s^5 + 48s^3 - 30s }$$
### 導関数の符号
導関数 $${ f'(s) }$$ を 0 に等しくします。
$${ 24s^5 + 48s^3 - 30s = 0 }$$
$${ 6s(4s^4 + 8s^2 - 5) = 0 }$$
これは次のように因数分解できます。
$${ 6s(4s^4 + 8s^2 - 5) = 0 }$$
ここで、$${ 0 < s \leq 1 }$$ の範囲において、次の2つのケースを考えます。
1. $${ s = 0 }$$ は考慮しません。
2. $${ 4s^4 + 8s^2 - 5 = 0 }$$
$${ 4s^4 + 8s^2 - 5 = 0 }$$ を解きます。置き換え $${ u = s^2 }$$ を使います。
$${ 4u^2 + 8u - 5 = 0 }$$
解の公式を使って $${ u }$$ を求めます。
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{8} }$$
$${ u = \frac{-8 \pm 12}{8} }$$
$${ u = \frac{4}{8} \text{ or } u = \frac{-20}{8} }$$
$${ u = \frac{1}{2} \text{ or } u = -2.5 }$$
$${ u = s^2 }$$ なので $${ u \geq 0 }$$ です。従って、
$${ s^2 = \frac{1}{2} }$$
$${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$
### 増減表
臨界点 $${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ の周りで $${ f'(s) }$$ の符号を調べます。
$${ f'(s) = 24s^5 + 48s^3 - 30s }$$
1. $${ 0 < s < \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ の範囲：
- $${ f'(s) }$$ の符号を調べます。例えば、$${ s = \frac{1}{2} }$$ の場合、
$${ f'\left(\frac{1}{2}\right) = 24\left(\frac{1}{2}\right)^5 + 48\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 30\left(\frac{1}{2}\right) }$$
$${ = 24 \cdot \frac{1}{32} + 48 \cdot \frac{1}{8} - 30 \cdot \frac{1}{2} }$$
$${ = \frac{24}{32} + \frac{48}{8} - 15 }$$
$${ = \frac{3}{4} + 6 - 15 }$$
$${ = \frac{3}{4} - 9 }$$
$${ = -\frac{33}{4} }$$
したがって、$${ f'(s) < 0 }$$
2. $${ \frac{1}{\sqrt{2}} < s \leq 1 }$$ の範囲：
- $${ f'(s) }$$ の符号を調べます。例えば、$${ s = 1 }$$ の場合、
$${ f'(1) = 24(1)^5 + 48(1)^3 - 30(1) }$$
$${ = 24 + 48 - 30 }$$
$${ = 42 }$$
したがって、$${ f'(s) > 0 }$$
### 増減の結論
関数 $${ f(s) }$$ は $${ 0 < s < \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ の範囲では減少し、$${ \frac{1}{\sqrt{2}} < s \leq 1 }$$ の範囲では増加します。
したがって、関数 $${ f(s) }$$ の最小値は臨界点 $${ s = \frac{1}{\sqrt{2}} }$$ で取ります。
### 臨界点での評価
$${ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^6 + 12\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 - 15\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 4 }$$
$${ = 4\left(\frac{1}{8}\right) + 12\left(\frac{1}{4}\right) - 15\left(\frac{1}{2}\right) + 4 }$$
$${ = \frac{4}{8} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = \frac{1}{2} + 3 - 7.5 + 4 }$$
$${ = 0 }$$
臨界点での値は 0 であり、これは $${ 4s^6 + 12s^4 - 15s^2 + 4 \geq 0 }$$ を示しています。
したがって、元の不等式 $${ \frac{2(s^2 + 1)^{3/2}}{3s} \geq \sqrt{3} }$$ は一般的に成り立つことが示されました。
４ おわりに
今回問題を解かせてみて、解の吟味ができたことには驚きました。
証明の一般性については、まだ課題がありますが、指摘するとある程度できるので、まだまだ進化の可能性はありますね。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！