1分で解ける？令和5年度 岡山高等学校入試問題ー図形ー
令和5年度 岡山高等学校入試問題
以下の問題は、令和5年度 岡山高等学校入試問題です。
三角形 ABC があります。角 A は 80 度です。角 C の外角の二等分線を引きます。角 B の二等分線も引きます。二つの二等分線の交点を点 D とします。角 D は何度ですか？
公式を知っていると1分で解けます。
ただし，公式が覚えられないひともいます。どうしてそのような公式になるのか気になって勉強が進まないひともいます。それぞれの勉強の仕方に合わせて，解き方は選べばいいでしょう。以下には異なる方法での解き方を載せていますので，自分にあう方法で勉強を進めましょう。
公式を知っている場合
角 D は、外角の二等分線の定理により、
$$
\angle\mathrm{D} = \frac{180^\circ - \angle\mathrm{A}}{2}
$$
となります。
この場合、上の公式で角 D を求めることができます。
仮に数値を入れてみる
角 D の値は、角 A によって決まります。ですから、角 B、C に計算しやすい値を仮に入れて計算してみればよいでしょう。
三角形の内角の和は 180 度です。角 A の角度は 80 度なので、
$$
\angle\mathrm{B} + \angle\mathrm{C} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ
$$
となります。計算しやすいよう、それぞれ 50 度と仮定して計算します。
角 C の外角は 180 度 - 50 度で 130 度です。それを二等分しているので、角 BCD は 65 度、角 CBD も 65 度となります。
三角形の内角の和は 180 度です。角 BCD は 65 度、角 CBD も 65 度ですから、合わせて 130 度になります。すると、角 D は 180 度 - 130 度で 50 度になります。
連立方程式で解いてみる
簡単にするために、角 ACB を a、角 ABC を b と置きます。また、角 BCD を c、角 CBD を d と置きます。
三角形の内角の和は 180 度ですから、次のように書けます。
$$
a + b + 80^\circ = 180^\circ \\
a + b = 100^\circ
$$
c は a の外角を二等分したものですから、次のように書けます。
$$
c = \frac{180^\circ - a}{2}
$$
d も同様に書けます。
$$
d = \frac{180^\circ - b}{2}
$$
簡単にするために、それぞれ両辺を 2 倍して、足し合わせます。
$$
2c = 180^\circ - a \\
2d = 180^\circ - b \\
2 (c + d) = 360^\circ - (a + b)
$$
a + b = 100 なので、次のように書き直せます。
$$
2 (c + d) = 360^\circ - 100^\circ \\
2 (c + d) = 260^\circ \\
c + d = 130^\circ
$$
三角形 BCD について考えます。c と d を足すと 130 度です。三角形の内角の和は 180 度ですから、180 - 130 で、
$$
\angle\mathrm{D} = 50^\circ
$$