2022年 秋田大学 前期 共通 大問2

1辺の長さが1の正三角形$${A_1B_1C_1}$$がある。
正三角形$${A_1B_1C_1}$$から始めて、順に$${n}$$番目の正三角形$${A_nB_nC_n}$$から$${n+1}$$番目の正三角形$${A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}$$を作ることを考える（$${n=1,2,3,\dots}$$）。
次の問いに答えなさい。
(1) 辺$${A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n}$$の中点をそれぞれ$${A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1}}$$とする
$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$の面積$${S_n}$$を$${n}$$を用いて表しなさい
(2) $${r}$$を$${0 < r < 1}$$を満たす実数とする
辺$${A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n}$$を$${r:1-r}$$に内分する点をそれぞれ$${A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1}}$$とする
$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$の面積$${S_n}$$を$${r}$$と$${n}$$を用いて表しなさい
(3) 辺$${A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n}$$を$${1:2}$$に外分する点をそれぞれ$${A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1}}$$とする
$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$の周の長さを$${T_n}$$とするとき、$${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}T_k}$$を求めなさい

解答
(1)
各点の定め方から、$${\triangle{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}}$$の1辺の長さは
$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$の$${\frac{1}{2}}$$である
よって面積比は$${\triangle{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}:\triangle{A_nB_nC_n}=1:\frac{1}{4}}$$となるから
$${S_{n+1}=\frac{1}{4}S_n}$$の関係が成り立つ
$${S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}}$$だから
$${S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{1}{4})^{n-1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4^n}}$$

(2)
各点の定め方から、$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$と$${\triangle{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}}$$の1辺の長さの比は
$${A_nB_n:A_{n+1}B_{n+1}=1:\sqrt{r^2+(1-r)^2-2r(1-r)\frac{1}{2}}=1:\sqrt{3r^2-3r+1}}$$
ここで、$${3r^2-3r+1=3(r-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} > 0}$$であるから、
面積比は$${\triangle{A_nB_nC_n}:\triangle{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}=1:3r^2-3r+1}$$となる
よって、$${S_n=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(3r^2-3r+1)^{n-1}}$$

(3)
各点の定め方から、$${\triangle{A_nB_nC_n}}$$と$${\triangle{A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}}}$$の1辺の長さの比は
$${A_nB_n:A_{n+1}B_{n+1}=1:\sqrt{2^2+1^2-2•1•2•(-\frac{1}{2})}=1:\sqrt{7}}$$
だから、$${T_{n+1}=\sqrt{7}T_n}$$の関係が成り立つ
$${T_1=3}$$だから
$${T_n=3(\sqrt{7})^{n-1}}$$
よって、$${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3(\sqrt{7})^{k-1}=\dfrac{3({\sqrt{7}}^n-1)}{\sqrt{7}-1}=\dfrac{{(\sqrt{7}}^n-1)(\sqrt{7}+1)}{2}}$$