2022年 秋田大学 前期 共通 大問1

次の問いに答えなさい
(1) $${x \le 2}$$において関数$${y=2^{2x+2}-2^{x+2}}$$の最大値と最小値を求めなさい
(2) 5個の数字1,2,3,4,5のうち異なる3個の数字を並べて3桁の整数を作るとき、6の倍数は何通りあるか求めなさい
(3) 次のデータは都市Aの5年間の猛暑日の日数のデータである
　A：4,12,3,5,6 （単位は日）
同じ期間において都市Bの猛暑日の日数の標準偏差が4だった。Aの猛暑日の日数の分散を求め、猛暑日の日数の散らばりの度合いが大きいと考えられるのはA、Bのどちらなのか答えなさい

解答
(1)
$${2^{x+1}=t}$$とおくと、$${x \le 2}$$より$${0 < t \le 8}$$で、
与式は$${y=t^2-2t=(t-1)^2-1}$$と表せる
よって、
$${t=8}$$、すなわち$${x=2}$$のとき最大値$${y=7^2-1=48}$$、
$${t=1}$$、すなわち$${x=-1}$$のとき最小値$${y=-1}$$をとる

(2)
6の倍数は、2の倍数かつ3の倍数であり、
2の倍数は一の位が偶数、3の倍数は各桁の数字の和が3の倍数であることを用いると、
①一の位が2の場合、十の位と百の位の数字の和が4または7になる
　十の位と百の位の数字の和が4になるのは132,312の2通り
　十の位と百の位の数字の和が7になるのは342,432の2通り
②一の位が4の場合、十の位と百の位の数字の和が5または8になる
　十の位と百の位の数字の和が5になるのは234,324の2通り
　十の位と百の位の数字の和が8になるのは354,534の2通り
以上より、6の倍数となるのは8通りである

(3)
Aの平均は、$${\frac{4+12+3+5+6}{5}=\frac{30}{5}=6}$$
よってAの分散は、$${\frac{4+36+9+1+0}{5}=\frac{50}{5}=10}$$
一方Bの分散は、$${4^2=16}$$
$${10 < 16}$$であるから、散らばりの度合いが大きいと考えられるのはBである