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【数理的溢れ話20パス目】「数学の最先端」宇宙際タイヒミュラー理論と人工知能技術最先端の関係は？

Yasunori Matsuki

この投稿は以下の投稿の続きとなります。


N進数(e進数)の場合

改めてここまで検討してきた数理の全体像について整理してみましょう。

①加減算や整数概念はN進数概念に下属し「高々数え上げられる範囲=実元(Real Element)」という時、必ず一番上の桁$${a_{max}N^{max}}$$と一番下の桁$${a_{-max}N^{-max}}$$の外側に「数え切れない範囲=その他領域=虚元(Imaginal Element)」が存在する。

  • 10進数の場合。

$$
234.56=2100+310+4+5*\frac{1}{10}+6*\frac{1}{100}
$$

$$
=210^{+2}+310^{+1}+410^{±0}+510^{-1}+6*10^{-2}
$$

  • N進数の場合。

$$
A_{(N)}=\sum_{i=-∞}^{+∞}a_iN^i(a_i∈\mathbb{N}(0,1,…,N-1))
$$

②一方、剰余算はN進数概念における一桁分の計算に該当し、それはネイピア数e(2.718282…)と底の変換公式$${a^b=e^{log(a)b}}$$を用いて「e進数における各桁の計算」に変換可能。なおネイピア数は無理数なので近似値としてしか求められず、その外側に「数え切れない範囲=その他領域=虚元(Imaginal Element)」が現れる事を免れ得ません。

$$
e^{+1}=\lim_{n→∞}(1+\frac{1}{n})^n=2.718282…
$$

$$
e^{-1}=\lim_{n→∞}(1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}=0.3678794…
$$

  • かかるネイピア数における「数え切れない範囲=その他領域=虚元(Imaginal Element)」。は、オイラーの公式$${e^{θi}=\cos(θ)+\sin(θ)i}$$においては「大体何回ぐらい円を繰り返し描けるか？」なる「系の準安定性問題」として表出する。

③e進数の全体像は、例えば負方面についてλを「桁数」、xを「各桁上の位置」と看做すポアソン分布$${PO(x;λ)=e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}}$$(観測単位における平均成功回数λの場合のx回成功率)としてイメージされる。

  • これは右項$${\frac{λ^x}{x!}}$$がテイラー級数$${e^λ=\sum_{x=1}^∞\frac{λ^x}{x!}}$$の一部と看做せるからである。そしてテイラー級数は近似式なので無限には計算を続けられず、その外側にやはり「数え切れない範囲=その他領域=虚元(Imaginal Element)」が現れる事を免れ得ない。

$$
\sum_{x=1}^{x_{max}}PO(x;λ)=\sum_{x=1}^{x_{max}}e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}=e^{-λ}\sum_{x=1}^{x_{max}}\frac{λ^x}{x!}=e^{-λ}e^{+λ}=e^0=1
$$

  • ポワソン分布はサンプルサイズ$${x_{max}}$$が大きくなるにつれ(概ね5~10以上)次第に正規分布N(λ,λ)で近似可能になっていく(概ねλ=5以上)。そして頻度主義統計学は「5%水準(20面体サイコロにおける各面の出目。幾何学的には5次元以上で虚元出現率がこれ以下に抑えられる)」とか「1%水準(幾何学的には10次元以上で虚元出現率がこれ以下に抑えられる)」といった範囲で有意味度の切り捨てを遂行するので、この時初めて「数え切れない範囲=その他領域=純虚元(Pure Imaginal Element)」はやっと「滅多に起こらないのでとりあえず忘れて構わない事」として系の外側に追いやられるのである。

Fisherが著書「Statistical methods for research workers. Oliver and Boyd,(1925)」において，最初にp = 0.05を最初に使った。

"P =0·.05, or 1 in 20, is 1.96 or nearly 2 ; it is convenient to take this point as a limit in judging(P=0.05、つまり20分の1は1.96、つまりほぼ2であり判断上の限界とするのに便利である。)"

Cowles and Davis (1982) の最初の部分にも書かれているように，5％ という基準自体は，特別な合理性があって決められたわけでなく，適当に（arbitrarily）決められたと言える。

上卿「統計学の基準値の由来：5%有意水準，カイ二乗検定，相関係数の出典と引用」

なおポアソン分布における虚元は、その左右非対称性に由来して現れる。

一方、人類は今のところ「e進数の正方面」について有効な利用方法を思いついていない。

宇宙際タイヒミュラー理論の場合

ところでABC予測を解いたとされる望月新一教授の宇宙際タイヒミュラー理論は「数理体系の複雑さは導入した素数の数で決まる」としています。

例えば掛け算の九九に登場する素数は「2,3,5,7」の四個。

N進数(e進数)は表面上はどの様な整数を合成可能なので一見全ての素数が導入済みに見えますが、上掲の考え方に従って問題を整理するとその実「実元a(Real Element)」と「虚元b(Imaginal Element)」の二項演算$${(a+b)^{x_{max}}}$$を遂行しているだけとも考えられ、つまり導入したのは「寓素数」2のみともいえる訳です。

  • 1次元未満…$${(a+b)^0=1}$$かつ$${(a+b)^1=a+b}$$。空中に投げられたコインにおける「出目が確定した状態(aかbの最尤推定が1)」と「まだ空中を回転してる状態」。そして後者についてベイズ統計学における「理由不十分の原則」に従って実元aの最尤推定$${\frac{1}{2}=0.5}$$、純虚元$${b^n}$$の最尤推定$${\frac{1}{2}=0.5}$$と考える。

$$
\frac{{}_0C_0}{2^0}=\frac{1}{1}=1かつ\frac{{}_1C_0+{}_1C_1}{2^1}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1
$$

  • 二次元…$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$。ベイズ統計学における「理由不十分の原則」に従ったとして実元aの最尤推定$${\frac{3}{4}=0.75}$$、純虚元$${b^2}$$の最尤推定$${\frac{1}{4}=0.25}$$。

$$
\frac{{}_2C_0+{}_2C_1+{}_2C_2}{2^2}=\frac{1+2+1}{4}=1
$$

  • 三次元…$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$。ベイズ統計学における「理由不十分の原則」に従ったとして実元aの最尤推定$${\frac{7}{8}=0.875}$$、純虚元$${b^3}$$の最尤推定$${\frac{1}{8}=0.125}$$。

$$
\frac{{}_3C_0+{}_3C_1+{}_3C_2+{}_3C_3}{2^3}=\frac{1+3+3+1}{8}=1
$$

  • 四次元…$${(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$$。ベイズ統計学における「理由不十分の原則」に従ったとして実元aの最尤推定$${\frac{15}{16}=0.9375}$$、純虚元$${b^4}$$の最尤推定$${\frac{1}{16}=0.0625}$$。

$$
\frac{{}_4C_0+{}_4C_1+{}_4C_2+{}_4C_3+{}_4C_4}{2^4}=\frac{1+4+6+4+1}{16}=1
$$

  • 五次元…$${(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5}$$。ベイズ統計学における「理由不十分の原則」に従ったとして実元aの最尤推定$${\frac{31}{32}=0.96875}$$、純虚元$${b^5}$$の最尤推定$${\frac{1}{32}=0.03125}$$。すなわち、ここから頻度統計学における有意水準5%未満で、以分布は次第に正規分布に近似していく。

$$
\frac{{}_5C_0+{}_5C_1+{}_5C_2+{}_5C_3+{}_5C_4+{}_5C_5}{2^5}=\frac{1+5+10+10+5+1}{32}=1
$$

これ以上はポワソン分布同様「正規分布n(np,p(p-1))で近似可能な領域」に入ってきます。

  • 六次元と七次元…六次元の二項式は$${(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6}$$、七次元の二項式は$${(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7}$$。そして七次元の場合の実元aの最尤推定$${\frac{127}{128}=0.9921875}$$、純虚元$${b^7}$$の最尤推定$${\frac{1}{128}=0.0078125}$$。すなわちこれ以降は1%水準以下となり、60進法で考えると「0.5から1.5の間の揺らぎを1と数える」と定めたに等しい。

$$
\frac{{}_6C_0+{}_6C_1+{}_6C_2+{}_6C_3+{}_6C_4+{}_6C_5+{}_6C_6}{2^6}=\frac{1+6+15+20+15+6+1}{64}=1
$$

$$
\frac{{}_7C_0+{}_7C_1+{}_7C_2+{}_7C_3+{}_7C_4+{}_7C_5+{}_7C_6+{}_7C_7}{2^7}=\frac{1+7+21+35+35+21+7+1}{128}=1
$$

  • 十次元…$${(a+b)^{10}=a^{10}+10a^9b+45a^8b^2+120a^7b^3+210a^6b^4+252a^5b^5+210a^4b^6+120a^3b^7+45a^2b^8+10ab^9+b^{10}}$$。実元aの最尤推定$${\frac{1023}{1024}=0.9990234}$$、純虚元$${b^{10}}$$の最尤推定$${\frac{1}{1024}=0.0009765625}$$。すなわちこれ以降は0.1%水準となる。

$$
\frac{{}_{10}C_0+{}_{10}C_1+{}_{10}C_2+{}_{10}C_3+{}_{10}C_4+{}_{10}C_5+{}_{10}C_6+{}_{10}C_7+{}_{10}C_8+{}_{10}C_9+{}_{10}C_{10}}{2^{10}}=\frac{1+10+45+120+210+252+210+120+45+10+1}{1024}=1
$$

線形代数(Linear Algebra)の場合

そもそも連立一時方程式が「解ける」とは線形代数でいうと「対角化(Diagonalization)が可能」である事を意味し、その条件は「(行の数と列の数が同じ)正方行列(Square Matrix)である事=式の数と変数の数が同じ連立方程式である事」です。

$$
\begin{cases}

5x-4y+6z=8\\
7x-6y+10z=14\\
4x+9y+7z=74

\end{cases}
=\begin{bmatrix}
5 & -4 & 6& 8\\
7 & -6 & 10& 14\\
4 & 9 & 7& 74\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0& 2\\
0 & 1 & 0& 5\\
0 & 0 & 1& 3\
\end{bmatrix}
$$

大抵の問題がこの形に押し込めるので、それ以上高次の行列演算の研究はあ
まり熱心に行われていません。例えば平面上の線形変換（拡大縮小，回転。剪断）と平行 移動を扱うアフィン変換の拡大版たる三次元アフィン変換もその実、要するに一軸固定して二次元アフィン変換を行なってるのに過ぎないのです。

  • 二次元アフィン変換

$$
\begin{pmatrix}
X_1  \\
Y_1 \\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b & e\\
c & d & f \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
並行移動(T_x,T_y)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & T_x \\
0 & 1 & T_y \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
拡大縮小(S_x,S_y)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
S_x & 0 & 0\\
0 & S_y & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
回転(θ)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
cos(θ) & -sin(θ) & 0 \\
sin(θ) & cos(θ) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
剪断(θ)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
tan(θ) & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

  • 三次元アフィン変換

$$
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b & c & j\\
d & e & f & k\\
g & h & i & l \\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
並行移動(T_x,T_y,T_z)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & T_x\\
0 & 1 & 0 & T_y\\
0 & 0 & 1 & T_z \\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
拡大縮小(S_x,S_y,S_z)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
S_x & 0 & 0 & 0\\
0 & S_y & 0 & 0\\
0 & 0 & S_z & 0 \\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
x軸まわりの回転(θ)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & cos(θ) & -sin(θ) & 0\\
0 & sin(θ) & cos(θ) & 0 \\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
y軸まわりの回転(θ)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
cos(θ) & 0  & sin(θ) & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-sin(θ) & 0& cos(θ) & 0 \\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

$$
Z軸まわりの回転(θ)
\begin{pmatrix}
X_1\\
Y_1\\
Z_1\\
1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
cos(θ) & -sin(θ) & 0 & 0\\
sin(θ) & cos(θ) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 &0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X_0\\
Y_0\\
Z_0\\
1\\
\end{pmatrix}
$$

  • 「さらに上の素数に手を出した」四元数(Quaternion)を用いればこの様な制約から解放されますが、難易度が急激に上がるので現時点における用途は宇宙船やドローンの制御の様な「重力を無視して考えた方が都合がいい」場合に限られている。

$$
ベクトルv=iv_x+jv_y+kv_zを単位ベクトルa=ia_x+ja_y+ka_zを軸に角度θ回転させ、ベクトルv'=iv'_x+jv'_y+kv'_zに遷移させるものとする。この時、
$$

$$
v'=qv\bar{q}
$$

$$
q=\cos( \frac{θ}{2})+a\sin(\frac{θ}{2})
$$

$$
\bar{q}=\cos( \frac{θ}{2})-a\sin(\frac{θ}{2})
$$

それではこの世界観における純虚元$${b^n}$$は何処に？

そう、ここから先の話は「コンピューターの登場」が前提となってくるのですね。その過程で二進数や「(二次元配列までしか扱わない=連立一時方程式しか解かない)線形代数」が実用数学の主役として台頭してきたのです。

機械学習アルゴリズム(Machine Learning Algorithm)の場合

上掲の様に「変数に対して式が多過ぎる連立方程式」や「対角化出来ない行列式」は近似的にしか解く事が出来ず、この次元において純虚元$${b^n}$$は許容誤差(Allowance Limits of Error )の外側に現れる事になります(この問題は、本来高次元行列演算で解区べき問題を強引に二次元行列で解いた結果としても現れ得る？)。人類が最初にこれを認識したのはフランス革命(1789年~1799年)の最中に「革命的新単位」メートル法の制定が決定され、その基準として「地球の大きさ」が採用された時。そして、その計算過程で「最小二乗法(least squares method)」や「誤差関数(elf=ERror Function)」が発見されたという次第。

以下の数学史観に従うなら、まさしく「大数学者や大物理学者の時代」晩期にその動揺が始まり、産業革命浸透過程における技術革命の最先端に「叩き上げの技術者」が台頭してくる時代の黎明期と解釈されそうですね。

  • 数秘術師や魔術師の時代(イタリア・ルネサンス期~近世)

  • 大数学者や大物理学者の時代(大航海時代~1848年革命の頃)

  • 統計学者と母集団推定の時代(産業革命時代~現代)

  • 機械学習と意味分布論の時代(第二次世界大戦期~現在)

こうした数値最適化の技法が「データを学習用とテスト用に分けて与える」機械学習アルゴリズム(Machine Learning Algorithm)の流儀で運用される様になったのは1958年におけるロジスティック回帰(Logistic Regression)と単層パーセプトロン(Simple perceptron)発表以降。こうしてバックエンド演算がカプセル化されてインターフェースのみが特徴抽出されて以降、今日に至る「人工知能技術の躍進」が始まったのです。その一方で次第に浮上してきたのが「置き去りにされた人類のお気持ち」問題…

そう、この領域まで考え方を進めるには「科学実証主義的態度」の習得が不可欠という次第。

科学的実証主義は、知識は経験や観察、実験によって得られるものであり、検証可能なものだけが真理として認められるという立場です。この哲学的立場は、19世紀の哲学者オーギュスト・コントによって提唱され、その後、論理実証主義の形で20世紀に影響を与えました。

科学的実証主義の基本的な考え方

経験に基づく知識:
すべての知識は観察や経験、実験を通じて得られるものであるとされ、理論的な推論や形而上学的な主張（経験的に確認できないもの）は、科学的な知識として認められません。経験的証拠に基づいて初めて主張が成立します。

検証可能性:
科学的命題は、その命題が観察や実験によって検証されるかどうかにかかっています。つまり、検証可能でない命題（例えば、神や霊魂の存在についての議論）は、科学の範疇には含まれないという考えです。

理論と観察の関係:
理論は観察によって支持されるべきであり、科学的理論は観察と実験を通じて繰り返し確認される必要があります。理論的な構造はあっても、最終的には観察やデータによって裏付けられることが求められます。

形而上学への拒絶:
科学的実証主義では、形而上学的な議論や、経験的に確認できない概念は拒否されます。例えば、魂や神、宇宙の究極の目的といった概念は、実証的に証明できないため、科学的な議論としては扱われません。

科学的実証主義の限界

観察の限界:
経験や観察に基づく知識は、観察装置や人間の感覚の制約に依存するため、必ずしも完全な真実を反映しているとは限りません。また、観察の結果が理論に依存してしまうこともあります。

理論の進展:
科学的理論は時として観察データと矛盾することがありますが、それでも理論が支持されることがあります。例えば、アインシュタインの相対性理論は、その当時の観察結果とは必ずしも一致していませんでしたが、理論的に支持されていました。このようなケースでは、実証主義だけでは科学の進展を説明しきれないことがあります。

検証可能性の問題:
論理的に検証可能かどうかの判断が困難な理論も存在します。量子力学や宇宙論のような分野では、直接的な観察が難しい事象に対する理論が提唱されており、これらは従来の実証主義の枠組みでは取り扱いが難しい場合があります。

結論

科学的実証主義は、科学の基盤として観察や経験を重視し、検証可能なものだけを知識として受け入れる立場です。しかし、科学の進展とともに、その限界も指摘されており、より広範な哲学的視点（例：科学的現実主義や構成主義など）との対話が求められることが増えてきています。

ChatGPTに質問「科学的実証主義の立場について説明してください。」

  • ここで興味深いのが「社会学(仏: Sociologie、英:Sociology）の命名者」にして「実証主義哲学自体の提唱者」オーギュスト・コント(Isidore Auguste Marie François Xavier Comte,1798年~1857）が、フランス革命期の数学者コンドルセ侯爵(（Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet, 1743年~1794年）から出発しながら「社会学は数学とは別の理論(つまり歴史のその段階における純虚元$${b^n}$$)によって超越的に独裁されるべきである」なる結論に到達し、しかもその編纂に失敗してかかる対立仮説の棄却までには至らなかった事。

もちろん科学実証主義の目的は「純虚元$${b^n}$$の根絶」どころか、真逆に「常に純虚元$${b^n}$$の出現に備え続け、出現時には可能な限り適切に対処する」事にあります。そこまで全体像が俯瞰出来たところで以下続報…

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