電卓の √ キーを押し続けると1になる

小さな頃、意味もわからず電卓の √ キーを連打していたのを覚えている。
デタラメに数字キーを押し、√ キーを何度も押すと、桁いっぱいの小数が続き、ほとんどの場合必ず最後は１になった。
それからは何度押しても１のままで、それが何だか不思議だった。
その後 √ の意味を知ると面白さは忘れてしまった。
でも、大人になってから気づいた。
「あれは極限だったんだ！」

例えばある数$${x}$$が$${x>1}$$のとき、その平方根は

$$
\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
$$

更にその平方根は

$$
\begin{aligned}
\sqrt{\sqrt{x}}&=(x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\\\
&=x^{\frac{1}{2} × \frac{1}{2}}\\\
&=x^{(\frac{1}{2})^2}
\end{aligned}
$$

同様に、$${n}$$回平方根を繰り返すと、$${x>1}$$のとき

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \left[ x^{(\frac{1}{2})^n} \right] &=\lim_{n \to \infty} \left[ x^{\frac{1}{2^n}} \right] \\\
&=x^0 \\\
&=1
\end{aligned}
$$

$${1>x>0}$$のときは機種によるけど、0.999999998とか、
0.999999999などと表示され、それ以上進めない。
$${0.99999998^0=1}$$なので、本当は1に限りなく近づくのだけど、普通の電卓は最大桁までの近似値を、計算するので仕方ないようです。
また、$${x<0}$$のときは虚数になるため、普通の電卓はエラーになり、
$${x=0}$$のときはもちろんゼロのままです。

電卓の √ キーを連打すると1になる理由に、大人になってから気づいた話でした。