環上の代数（多元環）の定義と例

　環論の教科書でサラッと流されがちな代数（多元環）の定義をまとめました. 例も各分野から豊富に掲載していますので, 各自の興味のある分野の例を見てみてください（勉強したことない分野の例がわからなくてもOKです）.

　特に雪江明彦先生の『代数学2 環と体とガロア理論』（通称：青雪江）の代数の定義と, より一般的な代数の定義との関係を例5に示していますので, 青雪江で詰まった方にも有益だと思います.

　以下では$${R}$$は可換環とする.

定義1: 環上の代数（多元環）
　$${A}$$を$${R}$$加群とする. $${A}$$上に積とよばれる二項演算$${A\times A\ni\left(a,b\right)\rightarrow ab\in A}$$が定義され,
・ （積の結合律）$${\forall a,b,c\in A}$$
　　　 $${a\left(bc\right)=\left(ab\right)c}$$
・ （双線形性）$${\forall r_1,r_2\in R,\ \forall a,b,c\in A}$$
　　　 $${\left(r_1a+r_2b\right)c=r_1\left(ac\right)+r_2\left(bc\right)}$$
　　　 $${a\left(r_1b+r_2c\right)=r_1\left(ab\right)+r_2\left(ac\right)}$$
を満たすとき, $${A}$$を$${R}$$上の代数または多元環（$${R}$$-algebra）という.

　"双線形性"において, $${r_1=r_2=1}$$とすれば

$$
\left(a+b\right)c=ac+bc \\
a\left(b+c\right)=ab+ac
$$

となり, 積$${A\times A\rightarrow A}$$は分配法則を満たすことがわかる. $${R}$$代数は$${R}$$加群としての和とこの積によってそれ自身広義の環（＝単位元の存在を仮定しない環）になっている.

　また, 再び"双線形性"において, $${r_2=0}$$とすれば

$$
\left(r_1a\right)c=r_1\left(ac\right) \\
a\left(r_1b\right)=r_1\left(ab\right)
$$

となり, $${R}$$作用と$${A}$$の積は結合的であることがわかる.

　大雑把に言えば, $${R}$$代数は積の定義された$${R}$$加群であって, その積が線形性や結合律などの適当な性質を満たすもののことである.

定義2:
　$${A}$$を$${R}$$代数とする.
(1) 　　$${\forall a\in A,\ ea=ae=a}$$
　 を満たす$${e\in A}$$が存在するとき, $${A}$$を単位的$${R}$$代数（unital $${R}$$-algebra）という.
(2) 　　$${\forall a,b\in A,\ ab=ba}$$
　 なら, 可換$${R}$$代数（commutative $${R}$$-algebra）という.

　$${A}$$が単位的$${R}$$代数なら, $${A}$$は$${R}$$加群としての和と積$${A\times A\rightarrow A}$$に関して狭義の環（＝単位元の存在を仮定する環）になる.

例3（$${\mathbb{C}}$$）
　$${\mathbb{C}}$$は単位的$${\mathbb{R}}$$代数である. 実際, 積として$${\mathbb{C}}$$の通常の掛け算を考えればよい.

例4（多項式環）
　$${R}$$を可換環とする. 多項式環$${R\left[X_1,\cdots,X_n\right]}$$は通常の多項式同士の積に関して単位的可換$${R}$$代数である. 単位元は$${e\in R\subset R\left[X_1,\cdots,X_n\right]}$$である.

例5（青雪江の代数の定義）
　$${k, A}$$を可換環, $${f:k\rightarrow A}$$を環準同型とする. $${k}$$への$${A}$$の作用を

$$
x\cdot a\coloneqq f\left(x\right)a\qquad\left(x\in k, a\in A\right)
$$

で定めれば, $${A}$$は$${k}$$加群とみなせる. 実際$${\forall x,y\in k, \forall a,b\in A}$$に対し

$$
e_k\cdot a=f\left(e_k\right)a=e_Aa=a\qquad\left(e_k\in k,e_A\in A:\text{ 単位元}\right) \\
\ \\
\left(xy\right)\cdot a=f\left(xy\right)a=f\left(x\right)f\left(y\right)a=f\left(x\right)\left(y\cdot a\right)=x\cdot\left(y\cdot a\right) \\
\ \\
\left(x+y\right)\cdot a=f\left(x+y\right)a=f\left(x\right)a+f\left(y\right)a=x\cdot a+y\cdot a \\
\ \\
x\cdot\left(a+b\right)=f\left(x\right)\left(a+b\right)=f\left(x\right)a+f\left(y\right)a=x\cdot a+x\cdot b
$$

　さらに$${A}$$は単位的可換$${k}$$代数である.

　可換環$${A,B}$$が環準同型$${f_A:k\rightarrow A,\ f_B:k\rightarrow B}$$によって$${k}$$代数であるとき, $${g:A\rightarrow B}$$が$${k}$$準同型（$${k}$$-homomorphism）であるとは,

$$
g\circ f_A=f_B
$$

が成り立つことをいう. これはGalois理論で重要な役割を果たす.

例6（Lie代数）
　$${\mathfrak{g}}$$がLie代数（Lie algebra）であるとは, $${\mathfrak{g}}$$が$${\mathbb{K}\left(=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C}\right)}$$ベクトル空間で, 交換子積（Lieブラケット）と呼ばれる積$${[\cdot\ ,\ \cdot]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}}$$が定義され, $${\forall a,b\in\mathbb{K},\ \forall X,Y,Z\in\mathfrak{g}}$$に対し

$$
\left\{
\begin{aligned}
& \left[X,Y\right]=-\left[Y,X\right] & \qquad\left(\text{反対称性}\right) \\
\ \\
& \left[aX+bY,Z\right]=a\left[X,Z\right]+b\left[Y,Z\right] & \qquad\left(\text{線形性}\right) \\
\ \\
& \left[X,\left[Y,Z\right]\right]+\left[Y,\left[Z,X\right]\right]+\left[Z,\left[X,Y\right]\right]=0 & \qquad\left(\text{Jacobi恒等式}\right)
\end{aligned}
\right.
$$

が成り立つことをいうのであった. 反対称性より, $${\mathfrak{g}}$$は非可換$${\mathbb{K}}$$代数である.

　もし

$$
\forall X\in\mathfrak{g},\ \left[X,E\right]=X
$$

なる交換子積に関する単位元$${E}$$が存在したとすれば, Jacobi恒等式において$${Z=E}$$とすることで

$$
\left[X,Y\right]+\left[Y,-X\right]+\left[X,Y\right]=0 \\
\iff 3\left[X, Y\right]=0
$$

が任意の$${X,Y\in\mathfrak{g}}$$に対して成り立つが, 一般に$${\left[X,Y\right]\neq 0}$$なので, このような単位元$${E\in\mathfrak{g}}$$は存在しない. よって, Lie代数$${\mathfrak{g}}$$は交換子積に関して単位的でない非可換$${\mathbb{K}}$$代数である.

例7（$${L^1}$$上の畳み込み積）

$$
L^1\left(\mathbb{R}\right)\coloneqq \Bigg\{f:\text{可測関数（の同値類）}\ \Bigg|\ \int_{\mathbb{R}}|f\left(x\right)|dx<\infty\Bigg\}
$$

は畳み込み積（convolution）

$$
\left(f*g\right)\left(x\right)\coloneqq\int_{\mathbb{R}}f\left(x-y\right)g\left(y\right)dy
$$

に関して可換$${\mathbb{C}}$$代数になる. これを見るには$${\forall a,b\in\mathbb{C},\ \forall f,g,h\in L^1\left(\mathbb{R}\right)}$$に対し

$$
\begin{aligned}
& \text{(i)} f,g\in L^1\left(\mathbb{R}\right)\implies f*g\in L^1\left(\mathbb{R}\right) \\
& \text{(ii)} \left(f*g\right)*h=f*\left(g*h\right) & \left(\text{結合律}\right)\\
& \text{(iii)} \left\{ \begin{matrix} \left(af+bg\right)*h=a\left(f*h\right)+b\left(g*h\right), \\
f*\left(ag+bh\right)=a\left(f*g\right)+b\left(f*h\right)
\end{matrix}\right. & \left(\text{双線形性}\right) \\
& \text{(iv)} f*g=g*f\ & \left(\text{可換}\right)
\end{aligned}
$$

を検証すればよい.

(i) Fubiniの定理より

$$
\begin{aligned}
\int_{\mathbb{R}}|f*g\left(x\right)|dx & \leq\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}|f\left(x-y\right)||g\left(y\right)|dy\right)dx \\
& =\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}|f\left(x-y\right)|dx\right)|g\left(y\right)|dy \\
& =\left(\int_{\mathbb{R}}|f\left(x\right)|dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}}|g\left(y\right)|dy\right) \\
& <\infty
\end{aligned}
$$

(ii) $${f,g,h\in L^1\left(\mathbb{R}\right)}$$（可積分）なので, Fubiniの定理より

$$
\begin{aligned}
\left(f*g\right)*h \left(x\right) & =\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}f\left(x-z-y\right)g\left(y\right)dy\right)h\left(z\right)dz \\
& =\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}f\left(x-y\right)g\left(y-z\right)dy\right)h\left(z\right)dz \\
& =\int_{\mathbb{R}}f\left(x-y\right)\left(\int_{\mathbb{R}}g\left(y-z\right)h\left(z\right)dz\right)dy \\
& =\int_{\mathbb{R}}f\left(x-y\right)\left(g*h\left(y\right)\right)dy \\
& =f*\left(g*h\right)\left(x\right)
\end{aligned}
$$

(iii) 積分の線形性より明らか.

(iv)

$$
\begin{aligned}
\left(f*g\right)\left(x\right) & =\int_{\mathbb{R}}f\left(x-y\right)g\left(y\right)dy & \\
& =\int_{\mathbb{R}}f\left(y\right)g\left(x-y\right)dy & \left(y\rightarrow x-y\right) \\
& =\left(g*f\right)\left(x\right) &
\end{aligned}
$$

例8（$${C^*}$$代数）
　$${\mathcal{A}}$$が$${C^*}$$代数（$${C^*}$$-algebra）であるとは, $${\mathcal{A}}$$が$${\mathbb{C}}$$上のBanach空間であって, 対合（involution）とよばれる全単射$${\mathcal{A}\ni a\mapsto a^*\in\mathcal{A}}$$が定まって, $${\forall \lambda,\mu\in\mathbb{C},\ \forall a,b\in\mathcal{A}}$$に対し

$$
\left(\lambda a+\mu b\right)^*=\lambda^*a^*+\mu^*b^* \\
\left(ab\right)^*=b^*a^* \\
\left(a^*\right)^*=a
$$

が成り立ち, 積$${\mathcal{A}\times\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{A}}$$が

$$
\left\{
\begin{aligned}
& \|ab\|\leq\|a\|\|b\| & \qquad\left(\text{劣乗法性}\right) \\
& \|a^*a\|=\|a\|^2 & \qquad\left(C^*\text{条件}\right) \\
\end{aligned}
\right.
$$

を満たすものをいう. このとき$${\mathcal{A}}$$は$${\mathbb{C}}$$代数である.

　例えばHilbert空間$${\mathcal{H}}$$上の有界線形作用素全体

$$
B\left(\mathcal{H}\right)\coloneqq\Big\{T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}\ \Big|\ T:\text{線形},\ \sup_{\substack{x\in\mathcal{H} \\ \|x\|_{\mathcal{H}}=1}}\|Tx\|_{\mathcal{H}}<\infty\Big\}
$$

に作用素ノルム

$$
\|T\|\coloneqq\sup_{\substack{x\in\mathcal{H} \\ \|x\|_{\mathcal{H}}=1}}\|Tx\|_{\mathcal{H}}
$$

と

$$
\langle x,Ty\rangle=\langle T^*x,y\rangle\qquad\left(\forall x,y\in\mathcal{H},\ T\in B\left(\mathcal{H}\right)\right)
$$

で定まる対合$${^*:\mathcal{A}\ni T\mapsto T^*\in\mathcal{A}}$$を定義したものは$${C^*}$$代数である. 詳細についてはこれ以上立ち入らない.

例9（Frobenius代数）
　任意の体$${\mathbb{K}}$$に対し, $${\mathbb{K}}$$上の有限次元な単位的代数$${A}$$で非退化な双線形形式$${\epsilon:A\times A\rightarrow\mathbb{K}}$$をもつものをFrobenius代数（Frobenius algebra）という. $${A}$$は体$${\mathbb{K}}$$上の加群なのでベクトル空間であり, 次元の概念が定まるので有限次元という条件を課すことができる.

　Frobenius加群はTQFT（位相的場の量子論）などの文脈で現れる.