数Ⅲ（極限の整式・分数式）

数Ⅲチャートの練習問題86.87から抜粋しています。

 

Practice86での学びと押さえておくべき知識

1.∞-∞、∞/∞、∞×０、0/0の形にしてはならない
なぜか？
ここで0/∞をあげると、「0個のポップコーンをめちゃ多くの人に分けたよ」的な感じ。もともと0個なので何人に分けようと一人が持っているポップコーンの数は当然０になります。
∞－∞は、例えば「めっちゃポップコーンあったけどめっちゃ食べたよ」って言われてあと何個かなんてわかるわけないですよね。これが∞－∞の意味です。∞とは漠然とした「とても多い数」という意味を持つものなんですね。
∞/∞は、「めっちゃあったポップコーンをめっちゃ多くの人に分けたよ」って意味です。一人何個持っているなんかなんてわからないですよね。
不定形の極限は計算結果が出ない、わからないためそのままではダメなんですね。
∞＊0は、少し難しい概念です。ここで注意していただきたいのは０とは
1/n＝0(n→∞)のような「ものすごく小さい数」という意味での０なので
「0！」というより「ほぼ０」という意味であることに注意してください。
なのでこれは「ポップコーンのカスがめっちゃ集まる」感じです。
結局何個かなんてわからないですよね。答えが出なくて当たり前です。
0/0も、これはそもそも０でわることになるのでoutです。
以上をまとめると、具体的に考えてみると、答えが出ないことがわかります。不定形の極限はそれが原因で計算ができないのです。

２．不定形の形にならないように問題に合わせて変形する
「問題に合わせて」がむずいですよね、、。それができるならとっくにできてるといいたいところです。でも最大で5パターンしかないのです。
(i)整式
(ii)分数式
(iii)無理数の式
(iv)挟みうちの原理を使う場合
(v)r^nの式
整式はｎの最高次の項で因数分解をしてあげて計算する。
分数式は分母ｎの最大次の項で上下を割ってあげて1/nや1/n²の形をつくって計算する。
(iii)以降は次の記事であげます。

最後に

極限は覚えることが少ないので手を付けやすいと思います。あの５つくらいしか新しく覚えることはありません。そして極限で大事にしてほしい考え方はとにかく具体的に考えてほしいです。∞はめっちゃ大きい数、０はここではめっちゃ小さい数という意味であることを知ってこの記事を終えていただきたい。

おつかれさまでした。
そして最後まで見ていただきありがとうございました。