ペントミノ講座④ 入れ換え可能な図形とは？
みなさんどうも、うつろです。
前回の記事の最後で「今回もどうせ0スキでしょう」とこぼしたところ、予想外のスキをいただきまして驚いています。これで無理ならもう希望はないと思っていただけに少しホッとしている自分もいたり。線対称ではないのに2通りというミステリアスな部分が少しは刺さったのでしょうか。特集記事の執筆へのやる気がかなり上がってきてます。
さて今回は「入れ換え可能な図形」についてのお話。ほとんど名前変わらないのでてれこになりそうですが、これ以上いい名前が思いつかなかったもので。
それでは本編。
同じ形が2つあると…
入れ換え可能な図形については少し説明が難しいです。とりあえず下のイラストを見てください。
これは、ハンドガンみたいな形を作るときに使いうるピースの組み合わせを記したものです。全部で3種類。それぞれに番号をつけているのは後々使うからです。
「入れ換え可能な図形がある」と言えるのは、この3つのうち2つ以上の図形が同じ解の中に含まれている場合。図形ごと位置を取り替えてしまえば、それは紛れもなく別の解ということになるわけです。
わかりにくい方のために例を一つ。解の中に上のI. とII. が両方使われています。従ってこの2つをそのまま入れ替えるだけで、全く別の解になってしまうわけです。
ただしこの図形には一つ厄介な制約があります。同じ形2つを、ピースを共有して作ってはいけないのです。上のII. とIII. が含まれるものを例として挙げてみます。
この場合は入れ換えが不可能なことに注意しなければなりません。
線対称との併用
時には入れ換え可能な図形が線対称な図形であることもあります。その場合見つかる解の数はどうなるのか見てみましょう。少し発展的な内容です。
下の解には入れ換え可能な図形が2つ (緑丸、黒丸) 含まれています。一方でこの図形は線対称な図形でもあります。緑丸で囲ったものは構成するピース自体も線対称な図形なので意味がないのですが、黒丸で囲ったものはひっくり返すとピースの配置が変わります。したがって緑丸と黒丸で囲った部分を動かすだけで、2×2=4通りの解が見つかることになるわけです。
また、それぞれに対して赤丸で囲った線対称な図形の配置を2通りの中から選択できます。以上のように線対称な図形や入れ換え可能な図形を駆使すると、下の解を見つけただけで合計2×2×2=8個の解が見つかることになるわけです。
いかがでしたか。今回は少し実践的な内容を紹介しましたので、実際にパズルを解いている気分になれたのではないかと思います。
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次回の更新もお楽しみに。それではこのへんで。
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