ペケとジマの線形代数 #5 行列式とその性質②

コジ

2024年11月30日 01:36

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
温厚

ジマ
文系，ペケの先輩．
獰猛

ペケ：前回は疲れました．

ジマ：今回は前回の結果を使っていくから，前回ほど難しくないよォー．

ペケ：左様ですか．

ジマ：なめとんか？

ペケ：すみませんでした．

ジマ：では本題に入るんだけど，次の行列式を計算してくんねぇ～？

$$
\begin{vmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{vmatrix}
$$

ペケ：まだやるんですか．サラス則より，

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{vmatrix}\\
&=1\cdot5\cdot9+4\cdot8\cdot3+7\cdot2\cdot6\\
& \ \ \ \ -1\cdot8\cdot6-4\cdot2\cdot9-7\cdot5\cdot3\\
&=45+96+84-48-72-105\\
& \ \ \ \ (めんどくせぇ…)\\
&=225-225\\
&=0
\end{aligned}
$$

…あれ，せっかく頑張って計算したのにゼロになった．

ジマ：愚かだねぇ，ペケくぅん．この流れなんだから楽に計算する方法があるに決まってるでしょーがぁーw
俺ならこう計算するね．

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{vmatrix}\\
&\overset{3列目-2列目}{=}
\begin{vmatrix}
1&4&7-4\\
2&5&8-5\\
3&6&9-6
\end{vmatrix}\\
&\overset{2列目-1列目}{=}
\begin{vmatrix}
1&4-1&3\\
2&5-2&3\\
3&6-3&3
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
1&3&3\\
2&3&3\\
3&3&3
\end{vmatrix}\\

&\overset{}{=}0 \ \ (同じ列があるからゼロ)
\end{aligned}
$$

丁寧に書いたけど，暗算レベルだNe～～．

ペケ：前回やった交代性と線形性を使うんですか？

ジマ：そォー．まず次を示してくんねぇー？

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
\overset{}{=}0
\end{aligned}
$$

同じ列があったらゼロになるよォー．

ペケ：

$$
\begin{aligned}
&2\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
& \ \ \ \ +\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\overset{2項目のi,j列目入れ替え}{=}
\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
& \ \ \ \ -\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=0
\end{aligned}
$$

積分を$${I}$$と置いて，$${I=-I=0}$$を示す問題に似てますね．

ジマ：お前にしてはやるじゃん．
次に，$${\boldsymbol x=x_1\boldsymbol a_1+\cdots x_n\boldsymbol a_n}$$として，

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x+\boldsymbol a_i) \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
\overset{}{=}(x_i+1)\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
\end{aligned}
$$

を示してくんねぇ～？

ペケ：ありがとうございます．各列に線形性があるから，

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x+\boldsymbol a_i) \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
+\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol x \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|+\sum_{k=1}^{n}x_k\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_k \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
\end{aligned}
$$

で，さっき示した事実より，$${k=i}$$以外は同じ列があるからゼロになって，

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x+\boldsymbol a_i) \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|+\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ x_i\boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|+x_i\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=(x_i+1)\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|
\end{aligned}
$$

ジマ：Soー．で，$${x_i=0}$$が意味するところは？

ペケ：あ，コレが教科書によく載ってる，ある列に他の列の定数倍を足し引きしても同じ値になるってことですか．

ジマ：Soー．じゃ$${x_i=-1}$$が意味するところは？

ペケ：1本でも他と線形従属なベクトルがあったら行列式がゼロになるってこと？最初の式の一般化になってるんですね．

ジマ：Soー．例によって，$${|A^\top|=|A|}$$だから，行についても同じことが言えるな．
では最後に次の行列式をしっぽりと計算してくれ．

$$
\begin{aligned}
\Big|(i+j)_{n}\Big|
=\begin{vmatrix}
1&n+1&\cdots&n^2-n+1\\
2&n+2&\cdots&n^2-n+2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
n&2n&\cdots&n^2
\end{vmatrix}\\
\end{aligned}
$$

ペケ：

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
1&n+1&\cdots&n^2-n+1\\
2&n+2&\cdots&n^2-n+2\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
n&2n&\cdots&n^2
\end{vmatrix}\\
&\overset{3列目-2列目,2列目-1列目}{=}
\begin{vmatrix}
1&n&n&\cdots&n^2-n+1\\
2&n&n&\cdots&n^2-n+2\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
n&n&n&\cdots&n^2
\end{vmatrix}\\
&\overset{}{=}0 \ \ (同じ列があるからゼロ)
\end{aligned}
$$