ペケとジマの線形代数 #8 固有値分解②
登場人物
ペケ
理系，学部1年．
苗字が無い．名前が罰．
ジマ
文系，ペケの先輩．
苗字が島．名前が無い．
ペケ：ジマさん．前回の手順で，固有方程式に重複度2の重解$${\ell}$$がある正方行列の，固有値$${\ell}$$の固有ベクトル$${\boldsymbol p}$$を計算したら，パラメータ$${s,t}$$を用いて
$$
\boldsymbol p=s\boldsymbol p'+t\boldsymbol p''
$$
という風に，2本のベクトルが出てきました．このときって$${P}$$をどういう風につくればいいんですか？
ジマ：他の固有ベクトルと$${\boldsymbol p',\boldsymbol p''}$$を並べればよくねー？
ペケ：なんで並べればいいと言えるんですか？
ジマ：$${\boldsymbol p=\boldsymbol 0}$$(自明な解という．)，つまり，$${s=t=0}$$じゃなければなんでもいいから，$${(s,t)=(1,0),(0,1)}$$としても$${\boldsymbol p=\boldsymbol p',\boldsymbol p''}$$は$${\ell}$$に対する固有ベクトルであることに変わりはなくねェーー？
ペケ：なるほど．
$${\boldsymbol p',\boldsymbol p''}$$とほかの固有ベクトルが線形独立じゃないと$${|P|=0}$$になっていると思うんですが，こいつら線形独立って言えるんですか？
ジマ：固有値違う固有ベクトル同士は前回言った通り線形独立として，$${\boldsymbol p',\boldsymbol p''}$$に関しては，線形独立じゃなかったらパラメータ2個も使ってなくねー？
ペケ：確かに．わざわざ2個使わないと表せないってことは線形独立なんすね．
ジマ：Soー．これを同じように並べて$${P}$$をつくればいいね．同じように重複度$${k}$$の固有値に対する固有ベクトルを求めればいいよォー．$${k}$$本出てこない場合はそもそも対角化出来ないんだけど，ちょっとベキを楽に計算する方法があって・・・ｸｸｸｸｸ…w今は気にしなくていいよォーwww
ペケ：なるほど・・・？
ジマ：これの解説するとこれ1個だけでこのジマペケ線形代数本編くらい解説が長くなるんだよねー．テストに出ないだろうから気にしなくていいよぉー．Soー．
ペケ：わかりました．気が向いたら教えてください．
#8のまとめ
固有方程式に重解がある場合の固有値分解
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