ペケとジマの線形代数 #3 トレースと転置
登場人物
ペケ
理系，学部1年．
メガネが四角い
ジマ
文系，ペケの先輩．
メガネが丸い
ジマ：今回は行列にする操作を解説するよォーー．
まず転置．
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}\\
\end{pmatrix}^\top
:=\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{m1}\\
&&\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
&&\\
a_{1n}&\cdots&a_{nm}\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
ペケ：$${(a_{ij})_{m\times n}^\top=(a_{ji})_{n\times m}}$$という感じですか．
ジマ：Soー．次に性質だが，
$$
\begin{align}
&(kA+\ell B)^\top
=kA^\top+\ell B^\top\\
&(AB)^\top=B^\top A^\top
\end{align}
$$
転置には線形性があり，積の転置は転置の積になるよォー．
ペケ：確かにサイズ考えればそうなりそうですよね．
$$
\begin{aligned}
(kA+\ell B)^\top
&=\Big(k(a_{ij})_{m\times n}+\ell (b_{ij})_{m\times n}\Big)^\top\\
&=(ka_{ij}+\ell b_{ij})_{m\times n}^\top\\
&=(ka_{ji}+\ell b_{ji})_{n\times m}\\
&=k(a_{ji})_{n\times m}+\ell(b_{ji})_{n\times m}\\
&=kA^\top+\ell B^\top\\
\end{aligned}
$$
$${\boldsymbol a_i,\boldsymbol b_i}$$をそれぞれ$${k}$$次元列ベクトル，
$$
\begin{aligned}
&A
=\begin{pmatrix}
\boldsymbol a_1^\top\\
\vdots\\
\boldsymbol a_m^\top\\
\end{pmatrix}\in\mathbb C^{m\times k},\\
&B=(\boldsymbol b_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol b_n)\in\mathbb C^{k\times n}
\end{aligned}
$$
として，当たり前だけど，
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol a_j^\top\boldsymbol b_i
&=\boldsymbol b_i^\top\boldsymbol a_j\\
A^\top
&=(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_m)\in\mathbb C^{k\times m}\\
B^\top
&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol b_1^\top\\
\vdots\\
\boldsymbol b_n^\top\\
\end{pmatrix}\in\mathbb C^{n\times k},\\
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
(AB)^\top
&=(\boldsymbol a_i^\top\boldsymbol b_j)_{m\times n}^\top\\
&=(\boldsymbol a_j^\top\boldsymbol b_i)_{n\times m}\\
&=(\boldsymbol b_i^\top\boldsymbol a_j)_{n\times m}\\
&=B^\top A^\top
\end{aligned}
$$
ジマ：Soー．次トレース．跡ともいうよ．
$$
\begin{aligned}
\mathrm{tr}(A)
:=\sum_{i=j}a_{ij}
=\sum_{i=1}^na_{ii}
\end{aligned}
$$
行列の対角成分の和のことだねェー．式の形からもわかると思うけど，こっちは正方行列限定だよォー．
次の面白い性質があるYoーー．Soーーー．
$$
\begin{aligned}
&\mathrm{tr}(kA+\ell B)
=k\mathrm{tr}(A)+\ell\mathrm{tr}(B)\\
\\
&\mathrm{tr}(AB)
=\mathrm{tr}(BA)
\end{aligned}
$$
ペケ：トレースは正方行列の対角成分の和のことなんですね．線形性があるのは定義から示せますが，2つ目は，
さっきの転置の性質で…示せそうにないな．
ジマ：
$$
\begin{aligned}
\mathrm{tr}(AB)
&=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki}\right)\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki}\\
&=\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^nb_{ki}a_{ik}\\
&=\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^nb_{ki}a_{ik}\right)\\
&=\mathrm{tr}(BA)
\end{aligned}
$$
$${AB}$$の対角成分$${\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki}}$$と$${BA}$$の対角成分$${\sum_{k=1}^nb_{ik}a_{ki}}$$が一致するってことだね．
ペケ：なるほど．面白いですね(棒読み)．
#3のまとめ
転置の定義：$${(a_{ij})_{m\times n}^\top:=(a_{ji})_{n\times m}}$$
転置の性質
線形性：$${(kA+\ell B)^\top=kA^\top+\ell B^\top}$$
積：$${(AB)^\top=B^\top A^\top}$$
トレースの定義：$${\mathrm{tr}(A):=\sum_{i=1}^na_{ii}}$$
トレースの性質：
線形性：$${\mathrm{tr}(kA+\ell B)=k\mathrm{tr}(A)+\ell\mathrm{tr}(B)}$$
$${\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)}$$
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