ペケとジマの線形代数 #(完)ジョルダン標準形の紹介

コジ

2024年12月4日 02:48

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
クセっ毛

ジマ
文系，ペケの先輩．
クセっ毛

ペケ：これで最後ですか．

ジマ：行列の数値計算はこんだけ出来れば御の字だろ．
深堀りは別講座でやるよー．

ペケ：ここまでスタートラインですらなかったんスか．

ジマ：積分やるために関数と微分やったみたいな感じ．線形代数は奥が深いからねーー．
じゃ早速だが，

$$
\begin{aligned}
S_n
&=(\bm 0 \ \bm e_1 \ \cdots \ \bm e_{n-1})\\
\\
&=\begin{pmatrix}
0&1&\cdots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&1\\
0&\cdots&\cdots&0\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

として，$${S^2_n}$$を計算してくれ．

ペケ：

$$
\begin{aligned}
(\bm 0 \ \bm e_1 \ \cdots \ \bm e_{n-1})\bm e_i
=\bm e_{i+1}
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
S^2_n
&=(\bm 0 \ \bm 0 \ \bm e_1 \ \cdots \ \bm e_{n-2})\\
\\
&=\begin{pmatrix}
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&&\ddots&\ddots&1\\
\vdots&&&\ddots&0\\
0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

ジマ：$${S^n_n}$$は？

ペケ：$${O}$$スか？

ジマ：なんで？合ってるけど．

ペケ：斜めの$${{}^1\ddots{}_1}$$がベキの数だけ右にずれてるっていうか，ベキの数だけ頭にゼロベクトルがあるっていうか．

ジマ：Soー．じゃ，これを踏まえて，$${(xI_n+S_n)^N \ (N\geq n-1)}$$をしっぽりと計算してくんねー？．

ペケ：二項定理から，

$$
\begin{aligned}
&(xI_n+S_n)^N\\
&=\sum_{i=0}^N{}_N\mathrm C_ix^{N-i}S^i_n\\
&=x^NI+{}_N\mathrm C_1x^{N-1}S_n+\cdots+{}_N\mathrm C_{n-1}x^{N-(n-1)}S^{n-1}_n+O\\
\\
&=\begin{pmatrix}
x^N&{}_N\mathrm C_1x^{N-1}&{}_N\mathrm C_2x^{N-2}&\cdots&{}_N\mathrm C_{n-1}x^{N-(n-1)}\\
\\
&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\\
&&&\ddots&{}_N\mathrm C_2x^{N-2}\\
\\
&\huge O&&\ddots&{}_N\mathrm C_1x^{N-1}\\
\\
&&&&x^N\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

ですかね．

ジマ：そォー．計算しやすかったろ？

ペケ：はい，対角行列並みに計算しやすかったです．
でも，何のためにこんなことやってるんですか？

ジマ：こないだ長くなるからって飛ばした，固有値分解できない行列$${A}$$のベキを簡単に計算する方法なんだけどさー．重複度$${k}$$の重解ある固有値$${\lambda}$$の固有ベクトル$${\bm p_1}$$を使って，

$$
\begin{aligned}
(A-\lambda I_n)\bm p_{i+1}=\bm p_i
\end{aligned}
$$

という操作で，固有ベクトルもどき・・・・・・・・・$${\bm p_i}$$を必要な本数作るんよ．

ペケ：なんでこういう風にするんですかね？

ジマ：$${A\bm p_{i+1}=\lambda \bm p_{i+1} +\bm p_i}$$と変形して，固有値分解のときと同じ手順で行列作ってみろ．

ペケ：はい．このベクトルを横に並べると，

$$
\begin{aligned}
&\big(A\bm p_1 \ \cdots \ A\bm p_n\big)
=\Big(\lambda\bm p_1 \ (\lambda \bm p_{2} +\bm p_1) \ \cdots \ (\lambda \bm p_{n} +\bm p_{n-1})\Big)\\
\\
&AP
=P(\lambda I_n+S_n)
\end{aligned}
$$

あ，さっきの値が出てきました．
でこの$${(\lambda I_n+S_n)^N}$$が計算しやすいから，$${A^N=P(\lambda I_n+S_n)^NP^{-1}}$$も計算しやすいって訳ですか．

ジマ：So－．こういう，ベキが零行列になる行列を冪零行列というよー．
$${J_n(\lambda)=\lambda I_n+S_n}$$はジョルダンブロックというよォーーー．

ペケ：というか，固有値複数あってそれらも固有ベクトル足りなかったらどうなるんですか？

ジマ：

$$
\begin{aligned}
A
=P^{-1}
\begin{pmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1)&&\huge O\\
&J_{n_2}(\lambda_2)&\\
\huge O&&\ddots&\\
\end{pmatrix}
P
\end{aligned}
$$

という感じに分解でき，特に，$${J_1(\lambda)=\lambda}$$となり，普通の固有値の計算になるから，前回までやったブロック行列の積の性質を使えば，

$$
\begin{aligned}
A^N
&=P^{-1}
\begin{pmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1)&&\huge O\\
&J_{n_2}(\lambda_2)&\\
\huge O&&\ddots&\\
\end{pmatrix}^N
P\\
&=P^{-1}
\begin{pmatrix}
J_{n_1}(\lambda_1)^N&&\huge O\\
&J_{n_2}(\lambda_2)^N&\\
\huge O&&\ddots&\\
\end{pmatrix}
P
\end{aligned}
$$

とラクに計算できるから，結局便利なんだよNeー．
これをジョルダン標準型というよォー．

ペケ：なるほど，でも，例えば4次正方行列で重複度4の固有値$${\lambda}$$があったとして，ジョルダンブロックを含む対角部分の組が

$$
\begin{aligned}
&\big(\lambda,\lambda,J_2(\lambda)\big),\\
&\big(J_2(\lambda),J_2(\lambda)\big),\\
&\big(\lambda,J_3(\lambda)\big),\\
&\big(J_4(\lambda)\big)\\
\end{aligned}
$$

の4通りあると思うんですが，これらはどうやって判断するんですかね？