ペケとジマの線形代数 #2 行列の和と積

コジ

2024年11月28日 00:30

登場人物

ペケ (聞き手)
理系，学部1年．
ガリ

ジマ (話し手)
文系，ペケの先輩．
デブ

ジマ：さて，今日は線形写像について解説するよォーー．
写像$${f:V\rightarrow W}$$で次が成り立つものを線形写像というよー．

$$
\begin{aligned}
f(k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)
=kf(\boldsymbol x)+\ell f(\boldsymbol y)
\ (\boldsymbol x,\boldsymbol y\in V)
\end{aligned}
$$

ペケ：なんスカ写像って？

ジマ：ある世界のものを別の世界のものに変換する存在だね．
集合$${飯=\{ちくわ,くさや,リンゴ\},糞=\{ウンコ,げり\}}$$として，
ペケくんを写像$${ペケ:飯\rightarrow 糞}$$とすると，

$$
\begin{aligned}
&ペケ(ちくわ)=げり\\
&ペケ(くさや)=げり\\
&ペケ(リンゴ)=ウンコ
\end{aligned}
$$

という具合にw

ペケ：ジマさん今まで僕が魚で腹下すの知ってて無理やり寿司に連れて行ってたんですか？

ジマ：ｳﾍﾍﾍﾍ！！ww 魚食わせた後すぐ便所行ってたもんな！
別の世界じゃなく，同じ世界から同じ世界でもいいんだけど．
写像$${ペケ:糞\rightarrow 糞}$$とすると，

$$
\begin{aligned}
&ペケ(ウンコ)=げり\\
&ペケ(げり)=げり
\end{aligned}
$$

ペケ：なんで反芻させるんスか．でも何となく写像が分かりました．

ジマ：線形写像に加法も定義できるよー．
線形写像$${f,g:V\rightarrow W}$$に対し，和$${(f+g):V\rightarrow W}$$を

$$
\begin{aligned}
\big(f+g\big)(\boldsymbol x)
:=f(\boldsymbol x)+g(\boldsymbol x)
\end{aligned}
$$

ペケ：$${\boldsymbol x \in V}$$を入力すると，左辺も右辺も$${W}$$の元になっているから矛盾なく定義できてるんですね．

ジマ：Soー．右辺が線形写像だから$${(f+g)}$$もちゃんと線形写像になるように定義できていることも分かるな．

ペケ：

$$
\begin{aligned}
&\big(f+g\big)(k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)\\
&=f(k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)+g(k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)\\
&=kf(\boldsymbol x)+\ell f(\boldsymbol y)+kg(\boldsymbol x)+\ell g(\boldsymbol y)\\
&=k\big(f(\boldsymbol x)+g(\boldsymbol x)\big)+\ell\big(f(\boldsymbol y)+g(\boldsymbol y)\big)\\
&=k\big(f+g\big)(\boldsymbol x)+\ell\big(f+g\big)(\boldsymbol y)
\end{aligned}
$$

確かに．

ジマ：次に，
行列$${A=(\boldsymbol e_1' \ \cdots \ \boldsymbol e_n'),B=(\boldsymbol e_1'' \ \cdots \ \boldsymbol e_n'')\in\mathbb C^{m\times n}}$$と
$${n}$$次元標準基底ベクトル$${\boldsymbol e_i}$$に対して，線形写像の性質を持つ積を次で定義するよー．

$$
\begin{aligned}
&A\boldsymbol e_i=\boldsymbol e_i'\\
&(A+B)\boldsymbol e_i=A\boldsymbol e_i+B\boldsymbol e_i
\end{aligned}
$$

$${\boldsymbol e_i}$$を掛けると行列の$${i}$$列目が取り出せるって思って差し支えないよォー．

ペケ：線形写像ってことは，一般の$${n}$$次元ベクトル$${\boldsymbol x = x_1\boldsymbol e_1 +\cdots +x_n\boldsymbol e_n}$$に対して，

$$
\begin{aligned}
&A\boldsymbol x\\
&=A(x_1\boldsymbol e_1 +\cdots +x_n\boldsymbol e_n)\\
&=x_1(A\boldsymbol e_1) +\cdots +x_n(A\boldsymbol e_n)\\
&=x_1\boldsymbol e_1' +\cdots +x_n\boldsymbol e_n'
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&(A+B)\boldsymbol x\\
&=A\boldsymbol x+B\boldsymbol x\\
&=A(x_1\boldsymbol e_1+\cdots +x_n\boldsymbol e_n)\\
& \ \ \ \ +B(x_1\boldsymbol e_1 +\cdots +x_n\boldsymbol e_n)\\
&=x_1(A\boldsymbol e_1)+\cdots +x_n(A\boldsymbol e_n)\\
& \ \ \ \ +x_1(B\boldsymbol e_1) +\cdots +x_n(B\boldsymbol e_n)\\
&=x_1\boldsymbol e_1' +\cdots +x_n\boldsymbol e_n'+x_1\boldsymbol e_1'' +\cdots +x_n\boldsymbol e_n''\\
&=x_1(\boldsymbol e_1'+\boldsymbol e_1'') +\cdots +x_n(\boldsymbol e_n'+\boldsymbol e_n'')
\end{aligned}
$$

が成り立つんですね．

ジマ：そォー．教科書にある$${A\boldsymbol x}$$の計算方法や行列の和の計算方法とちゃんと一致してるだろォー？

ペケ：確かに．
$${A\boldsymbol x}$$は，$${A}$$の行と$${\boldsymbol x}$$の内積をとって並べるのと，$${A+B}$$は成分同士の和になっていますね．

ジマ：次に，$${A\boldsymbol e_i''}$$を計算してみろ．

ペケ：$${\boldsymbol e_i'=a_{1i}\boldsymbol e_1 +\cdots +a_{ni}\boldsymbol e_n,\boldsymbol e_i''=b_{1i}\boldsymbol e_1 +\cdots +b_{ni}\boldsymbol e_n}$$として，

$$
\begin{aligned}
A\boldsymbol e_i''
&=A(b_{1i}\boldsymbol e_1 +\cdots +b_{ni}\boldsymbol e_n)\\
&=b_{1i}(A\boldsymbol e_1) +\cdots +b_{ni}(A\boldsymbol e_n)\\
&=b_{1i}\boldsymbol e_1' +\cdots +b_{ni}\boldsymbol e_n'\\
&=b_{1i}(a_{11}\boldsymbol e_1 +\cdots +a_{n1}\boldsymbol e_n)\\
& \ \ \ \ +\cdots+b_{ni}(a_{1n}\boldsymbol e_1 +\cdots +a_{nn}\boldsymbol e_n)\\
&=(a_{11}b_{1i}+a_{12}b_{2i}+\cdots+a_{1n}b_{ni})\boldsymbol e_1\\
& \ \ \ \ +\cdots+(a_{n1}b_{1i}+a_{n2}b_{2i}+\cdots+a_{nn}b_{ni})\boldsymbol e_n
\end{aligned}
$$

教科書にある行列の積の計算方法と一致してますね．

ジマ：Soー．式の$${a}$$と$${b}$$を置き換えると，

$$
\begin{aligned}
B\boldsymbol e_i'
&=(b_{11}a_{1i}+b_{12}a_{2i}+\cdots+b_{1n}a_{ni})\boldsymbol e_1\\
& \ \ \ \ +\cdots+(b_{n1}a_{1i}+b_{n2}a_{2i}+\cdots+b_{nn}a_{ni})\boldsymbol e_n\\
&=(a_{1i}b_{11}+a_{2i}b_{12}+\cdots+a_{ni}b_{1n})\boldsymbol e_1\\
& \ \ \ \ +\cdots+(a_{1i}b_{n1}+a_{2i}b_{n2}+\cdots+a_{ni}b_{nn})\boldsymbol e_n\\
\end{aligned}
$$

適当に$${\boldsymbol e_1}$$成分を比較してみると，

$$
\begin{aligned}
a_{11}b_{1i}+a_{12}b_{2i}+\cdots+a_{1n}b_{ni}
\neq a_{1i}b_{11}+a_{2i}b_{12}+\cdots+a_{ni}b_{1n}
\end{aligned}
$$

だから，多くの場合$${AB\neq BA}$$となるということだね．

ペケ：必ずしも交換法則は成り立たないんですね．
結合法則はどうなんですか？

ジマ：成り立つよォー．

$$
\begin{aligned}
&A(B\boldsymbol e_i)
=A\boldsymbol e_i''\\
\\
&(AB)\boldsymbol e_i
=(A\boldsymbol e_1'' \ \cdots \ A\boldsymbol e_n'')\boldsymbol e_i
=A\boldsymbol e_i''
\end{aligned}
$$

だから，

$$
\begin{aligned}
A(B\boldsymbol e_i)
=(AB)\boldsymbol e_i
\end{aligned}
$$

てことは，これの線形結合したヤツをならべて行列を作ると，

$$
\begin{aligned}
A(BC)
=(AB)C
\end{aligned}
$$

だNeーー．