ペケとジマの線形代数 #10 固有値分解③
登場人物
ペケ
理系，学部1年．
工学部
ジマ
文系，ペケの先輩．
経済学部
ジマ：簡単に固有値分解できる行列を紹介するYo～～．
$$
A^\dag=A
$$
エルミート行列って言うんだけど．
ペケ：てことは，$${A}$$が実行列だったら，転置と一致するからエルミート=対称行列になるんですね．
ジマ：So－．固有値が相異なるエルミート行列$${A}$$の固有ベクトルを$${\boldsymbol p_i}$$として，次の二次形式$${\boldsymbol p_i^\dag A\boldsymbol p_j}$$の式変形を見てくれ．
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol p_i^\dag\lambda_j\boldsymbol p_j
&=\boldsymbol p_i^\dag A\boldsymbol p_j
=(\boldsymbol p_j^\dag A^\dag\boldsymbol p_i)^\dag
=(\boldsymbol p_j^\dag A\boldsymbol p_i)^\dag\\
&=(\boldsymbol p_j^\dag\lambda_i\boldsymbol p_i)^\dag
=(\boldsymbol p_j^\dag\lambda_i\boldsymbol p_i)^\dag
=\boldsymbol p_i^\dag\lambda_i^*\boldsymbol p_j\\
\\
\therefore
&(\lambda_j-\lambda_i^*)\boldsymbol p_i^\dag\boldsymbol p_j
=0
\end{aligned}
$$
$${i=j}$$のとき分かることは？
ペケ：$${\boldsymbol p_i\neq\boldsymbol 0}$$だから，$${\boldsymbol p_i^\dag\boldsymbol p_i=\|\boldsymbol p_i\|^2>0}$$となることから，$${\lambda_i^*=\lambda_i}$$で，$${\lambda_i}$$は実数ってこと？
ジマ：Soー．$${i\neq j}$$のときは？
ペケ：固有値が実数で相異なるから，$${\lambda_j-\lambda_i^*=\lambda_j-\lambda_i\neq0}$$だから$${\boldsymbol p_i^\dag\boldsymbol p_j=\boldsymbol 0}$$ってことですか？
ジマ：So～．つまり，エルミート行列の固有ベクトルは互いに直行するんだよネェー．
ペケ：はぇ～～すっごい．
…というか，すべての固有値が相異なるという前提でやっていたということは，エルミート行列の固有方程式が重複度$${k}$$の重解を持つことってあるんですかね？
ジマ：もちろんあるよォーー．その場合は#8でやったように$${k}$$本の固有ベクトルを作ればいいんだけど，今回固有ベクトルに直交性ないと面白味がないから，前回やったシュミットの直交化などで気合でパラメータを決めてくれ．
ペケ：どうやって？
ジマ：#8の例$${\boldsymbol p=s\boldsymbol p'+t\boldsymbol p''}$$で言ったら，$${\boldsymbol p'}$$に直行する固有ベクトルを作りたかったら，$${\boldsymbol p''}$$と，$${\boldsymbol p''}$$の$${\boldsymbol p'}$$への正射影ベクトルを使って
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol p''':=\boldsymbol p''-\frac{\langle\bm p',\bm p''\rangle}{\|\boldsymbol p'\|^2}\boldsymbol p'
\end{aligned}
$$
などと決めればいいね．
ペケ：$${\boldsymbol p'''}$$はほかの固有ベクトルと一次独立なんですか？
ジマ：お前さぁ，それ#8とおんなじこと訊いてることになるぞ？
$$
\begin{aligned}
&|\cdots \ \boldsymbol p' \ \cdots \ \boldsymbol p''' \cdots|\\
&=\left|\cdots \ \boldsymbol p' \ \cdots \ \left(\boldsymbol p''-\frac{\langle\bm{p}',\bm{p}''\rangle}{\|\boldsymbol p'\|^2}\boldsymbol p'\right) \cdots\right|\\
&=|\cdots \ \boldsymbol p' \ \cdots \ \boldsymbol p'' \cdots|
-\frac{\langle\bm{p}',\bm{p}''\rangle}{\|\boldsymbol p'\|^2}
|\cdots \ \boldsymbol p' \ \cdots \ \boldsymbol p' \cdots|\\
&=|\cdots \ \boldsymbol p' \ \cdots \ \boldsymbol p'' \cdots|+0\\
&\neq0
\end{aligned}
$$
ペケ：あー確かに．さっき言ってたように，$${(s,t)=(0,1)}$$じゃなくても，$${t\neq0}$$だったらほかの固有ベクトルとは一次独立ですもんね．
ジマ：Soー．じゃ最後に$${P=(\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \boldsymbol p_n)}$$として$${P^\dag P}$$を計算しろ．
ペケ：はい．
$$
\begin{aligned}
P^\dag P
&=
\begin{pmatrix}
\boldsymbol p_1^\dag\\
\vdots\\
\boldsymbol p_n^\dag
\end{pmatrix}
(\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \boldsymbol p_n)\\
&=\begin{pmatrix}
\boldsymbol p_1^\dag\boldsymbol p_1&\boldsymbol p_2^\dag\boldsymbol p_1&\cdots\\
\boldsymbol p_2^\dag\boldsymbol p_1&\boldsymbol p_2^\dag\boldsymbol p_2&\\
\vdots&&\ddots
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\|\boldsymbol p_1\|^2&0&\cdots\\
0&\|\boldsymbol p_2\|^2&\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}\\
&=\mathrm{diag}(\|\boldsymbol p_1\|^2,\cdots,\|\boldsymbol p_n\|^2)
\end{aligned}
$$
直交性でうまいこと対角成分だけ残るんですねぇ．
ジマ：なんか気づかん？これ$${\|\boldsymbol p_i\|=1}$$だったら単位行列になるくねー？
ペケ：あぁー，$${\|\boldsymbol p_i\|=1}$$になるように固有ベクトル選んでやると$${P}$$の逆行列が$${P^\dag}$$になるんすね．
ジマ：So～～．逆行列の計算がただの転置になって大幅にラクになるな．
$${P^{-1}=P^\dag}$$となる行列の事をユニタリー行列というYo～～．
ペケ：証明も面白かったですね．てことは，ユニタリー行列って
$$
\begin{aligned}
1
&=|I|=|P^{-1}P|=|P^\dag P|\\
&=|P^\dag||P|=|P^\top|^*|P|=|P|^*|P|\\
&=\Big|\det(P)\Big|^2\\
\\
\therefore
&\Big|\det(P)\Big|=1
\end{aligned}
$$
が成り立ちますかね．
ジマ：まぁ，転置程度で大きさ変わらんくて，転置が逆行列になるってことは大きさ1しか考えられんわな．しかも，
$$
\begin{aligned}
\|P\boldsymbol x\|^2
&=(P\boldsymbol x)^\dag P\boldsymbol x
=\boldsymbol x^\dag P^\dag P\boldsymbol x\\
&=\boldsymbol x^\dag P^{-1} P\boldsymbol x
=\boldsymbol x^\dag \boldsymbol x\\
&=\|\boldsymbol x\|^2\\
\\
&\therefore
\|P\boldsymbol x\|
=\|\boldsymbol x\|
\end{aligned}
$$
だよぉー．等長性があるから，ベクトルに掛けてもそのベクトルの長さ変わらないんだよね．
ペケ：式変形での証明も美しくていいですが，
$$
\begin{aligned}
P\boldsymbol x
=x_1\boldsymbol p_1+\cdots+x_n\boldsymbol p_n
\end{aligned}
$$
で$${\boldsymbol p_i}$$が単位直交基底だから，$${P\boldsymbol x}$$は$${\boldsymbol x}$$を回しただけだから長さ変わんないって解釈や，直交性より，
$$
\begin{aligned}
\|P\boldsymbol x\|^2
&=(P\boldsymbol x)^\dag P\boldsymbol x\\
&=(x_1^*\boldsymbol p_1^\dag+\cdots+x_n^*\boldsymbol p_n^\dag)(x_1\boldsymbol p_1+\cdots+x_n\boldsymbol p_n)\\
&=\sum_{i=j}x_i^*x_j\boldsymbol p_i^\dag\boldsymbol p_j+\sum_{i\neq j}x_i^*x_j\boldsymbol p_i^\dag \boldsymbol p_j\\
&=\sum_{i=1}^n x_i^*x_i1+0\\
&=\|\boldsymbol x\|^2\\
\\
&\therefore
\|P\boldsymbol x\|
=\|\boldsymbol x\|
\end{aligned}
$$
という解釈もできますね．
ジマ：ちゃんと理解できてるようで良かったわー．その通り．
#10のまとめ
エルミート行列$${A^\dag=A}$$はユニタリー行列$${U^{-1}=U^\dag}$$を用いて固有値分解できる．
ユニタリー行列$${U}$$の性質
行列式の大きさが$${1}$$：$${\Big|\det(U)\Big|=1}$$
等長性ある：$${\|U\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol x\|}$$
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