ペケとジマの線形代数 #9 複素数の内積とグラム・シュミットの直交化

コジ

2024年12月2日 02:10

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
陰キャ

ジマ
文系，ペケの先輩．
陽キャ

ジマ：ちょっと脱線．次の複素ベクトルのノルム(大きさ)求めてくんねェ―？

$$
\begin{aligned}
\bm a
=
\begin{pmatrix}
1\\
i\\
-i
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

ペケ：はい．

$$
\begin{aligned}
\|\bm a\|^2=\bm a^\top\bm a=1-1-1=-1
\end{aligned}
$$

・・・あれ，大きさなのにマイナスになっちゃった．

ジマ：ｸｸｸｸｸ…w きれいに罠にハマってくれるじゃんw
複素ベクトルの内積$${\langle\cdot,\cdot\rangle}$$を次で定義するよォー．

$$
\begin{aligned}
\langle\bm a,\bm b\rangle
:=\bm a^\dag\bm b
\end{aligned}
$$

ペケ：$${\dag}$$って何スカ？随分と厨二臭い記号ですね．

ジマ：共役転置(複素共役して転置)$${\dag:=*\top=\top*}$$だよー．教科書によってはこれの事を$${*}$$と書いたりするから注意な．量子力学でよくある書き方だね．

ペケ：にしてもなんで転置を複素共役付きに拡張するんでしょうか．

ジマ：こう定義すると，ノルムが必ず正になるし，実ベクトルの内積の定義の拡張にもなってるからねー．

$$
\begin{aligned}
&\bm a\in\mathbb C^n:\\
&\|\boldsymbol a\|^2
=\boldsymbol a^\dag \boldsymbol a
=\sum_{i=1}^na_i^*a_i
=\sum_{i=1}^n|a_i|^2
\geq0\\
\\
&\bm a\in\mathbb R^n:\\
&\|\boldsymbol a\|^2
=\boldsymbol a^\dag \boldsymbol a
=\boldsymbol a^\top \boldsymbol a
=\sum_{i=1}^na_i^2
\end{aligned}
$$

ペケ：ホントだ．てことは，

$$
\begin{aligned}
\langle\bm a,\bm b\rangle
=\bm a^\dag \bm b
=(\bm b^\dag \bm a)^\dag
=\langle\bm b,\bm a\rangle^\dag
=\langle\bm b,\bm a\rangle^*
\end{aligned}
$$

だから複素ベクトルの内積は可換じゃないんですね．

ジマ：So～．では最後に，線型独立な$${n}$$本のベクトル$${\bm a_i}$$に対して，

$$
\begin{aligned}
&\bm q_i
:=\left\{
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\bm a_1 &&(i=1)\\
&\bm a_i-\sum_{j=1}^{i-1}C^i_j\bm q_j &&(1< i \leq n)\\
\end{aligned}
\end{equation*}
\right.\\
&\bm q_i\perp\bm q_j \ (1\leq j < i)
\end{aligned}
$$

という変換を考えるヨォーー．

ペケ：$${\bm q_j \ (1\leq j < i)}$$に垂直になるような$${\bm a_i}$$の正射影ベクトル$${\bm q_i}$$をどんどん生成していく操作なんですね．

ジマ：So～～～．ではこの係数$${C^i_k}$$を求めてくんねぇー？

ペケ：直交性で和の中の係数を抜き出せるから，左から$${\bm q_k^\dag \ \ (1\leq k < i)}$$を掛けて，

$$
\begin{aligned}
\bm0=\bm q_k^\dag\bm q_i
&=\bm q_k^\dag\bm a_i-\bm q_k^\dag\sum_{j=1}^{i-1}C^i_j\bm q_j \\
&=\bm q_k^\dag\bm a_i-\sum_{j=1}^{n-1}C_j^i\bm q_k^\dag\bm q_j \\
&=\bm q_k^\dag\bm a_i-0-\cdots-C^i_k\bm q_k^\dag\bm q_k-\cdots-0\\
&=\bm q_k^\dag\bm a_i-C^i_k\bm q_k^\dag\bm q_k\\
\\
\therefore \ C^i_k
&=\frac{\bm q_k^\dag\bm a_i}{\bm q_k^\dag\bm q_k}
=\frac{\langle\bm q_k,\bm a_i\rangle}{\|\bm q_k\|^2}
\end{aligned}
$$

ですか．$${\bm a_i}$$を用いて，それら自身の線形結合によって直交基底を構成する方法なんですね．
何のためにこんなことするのか知らんけど，興味深いですね．

ジマ：Soーー．これをグラム・シュミットの直交化というよォーー．
次の性質があるよー．

$$
\begin{aligned}
|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_n|
=|\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n|
\end{aligned}
$$

ペケ：

$$
\begin{aligned}
&|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_n|\\
&=\left|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_{n-1} \ \left(\bm a_n-\sum_{j=1}^{n-1}C_j^n\bm q_j\right)\right|\\
&=\left|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_{n-1} \ \bm a_n\right|+0+\cdots+0\\
&=\left|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_{n-2} \ \left(\bm a_{n-1}-\sum_{j=1}^{n-2}C_j^{n-1}\bm q_j\right) \ \bm a_n\right|\\
&=\left|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_{n-2} \ \bm a_{n-1} \ \bm a_{n}\right|+0+\cdots+0\\
& \ \ \vdots\\
&=|\bm q_1 \ \cdots \ \bm a_n|\\
&=|\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n|
\end{aligned}
$$

ということですね．

ジマ：まぁ，

$$
\begin{aligned}
&(\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_n)\\
&=(\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n)
\begin{pmatrix}
1&-C_1^2&-C_1^3&\cdots&\cdots&-C_1^{n}\\
0&1&-C_2^3&\cdots&\cdots&-C_2^{n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&0&&&\ddots&-C_{n-1}^n\\
0&0&0&\cdots&\cdots&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

で，

$$
\begin{aligned}
&|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_n|\\
&=
\begin{vmatrix}
(\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n)
\begin{pmatrix}
1&-C_1^2&-C_1^3&\cdots&\cdots&-C_1^{n}\\
0&1&-C_2^3&\cdots&\cdots&-C_2^{n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&0&&&\ddots&-C_{n-1}^n\\
0&0&0&\cdots&\cdots&1
\end{pmatrix}
\end{vmatrix}\\
&=|\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n|
\begin{vmatrix}
1&-C_1^2&-C_1^3&\cdots&\cdots&-C_1^{n}\\
0&1&-C_2^3&\cdots&\cdots&-C_2^{n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&0&&&\ddots&-C_{n-1}^n\\
0&0&0&\cdots&\cdots&1
\end{vmatrix}\\
&\stackrel{1列目で余因子展開しまくる}{=}
|\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n|
\end{aligned}
$$

だから，当たり前っちゃ当たり前だけどなァー．Soー．

#9のまとめ

複素ベクトルの内積の定義：$${\langle\bm a,\bm b\rangle:=\bm a^\dag\bm b}$$(非可換)
グラム･シュミットの直交化：$${\bm q_i:=\bm a_i-\sum_{k=1}^{i-1}c_k\bm q_k\ (\bm q_i\perp\bm q_j)}$$
$${|\bm q_1 \ \cdots \ \bm q_n|=|\bm a_1 \ \cdots \ \bm a_n|}$$

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