ペケとジマの線形代数 #12 ブロック行列②

コジ

2024年12月3日 22:13

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
背が高い

ジマ
文系，ペケの先輩．
背が低い

ジマ：次が成り立つよ．

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A_{m\times m} & B_{m\times n} \\
O_{n\times m} & D_{n\times n} \\
\end{vmatrix}
= |A_{m\times m}||D_{n\times n}|.
\end{aligned}
$$

これまた丁寧に添え字にサイズを載せといたよォー．

ペケ：流石に

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A_{m\times m} & B_{m\times n} \\
O_{n\times m} & D_{n\times n} \\
\end{vmatrix}
&=|A_{m\times m}D_{n\times n}-B_{m\times n}O_{n\times m}|???\\
&= |A_{m\times m}||D_{n\times n}|???
\end{aligned}
$$

…無理ですね．サイズ違うし．どうやるんですかね？

ジマ：びみょ～～～～に天下りだけど，これに左から，

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
I_m & T_{m\times n} \\
O_{n\times m} & D^{-1}\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

を掛けると，

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m &T \\
O_{n\times m} & D^{-1}\\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
A & AT+BD^{-1}\\
O_{n\times m} & I_n \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

じゃん？行列式計算してみろ．

ペケ：$${T}$$は何でもいいんですね．

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m &T \\
O_{n\times m} & D^{-1}\\
\end{pmatrix}
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
I_m &T \\
O_{n\times m} & D^{-1}\\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{vmatrix}
|D^{-1}| \\
&(1列目で余因子展開しまくる)\\
&=\begin{vmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{vmatrix}
\frac{1}{|D|}\\
\\
\\
&\begin{vmatrix}
A & AT+BD^{-1}\\
O_{n\times m} & I_n \\
\end{vmatrix}\\
&=|A| \ (ケツの行で余因子展開しまくる)\\
\end{aligned}
$$

だから，確かに成り立ちますね．
というか，$${|D|=0}$$の場合はどうするんですかね？

ジマ：掛ける行列を

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
A^{-1} & T_{m\times n} \\
O_{n\times m} & I_n\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

とすれば，

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
A & B \\
O_{n\times m} & D\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^{-1} & T\\
O_{n\times m} & I_n\\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
I_m & AT+B\\
O_{n\times m} & D \\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

とすれば良くねー？そもそも$${A,D}$$どっちかが正則じゃない時点で，ブロック行列の形からして明らかにゼロだけどなー．Soーー．

ペケ：なんでですか？

ジマ：$${A(\mathrm{resp.}D)}$$が正則じゃなかったら，その列($${\mathrm{resp.}}$$行)が線形従属ってことジャン？
そしたら$${\binom AO,\big(\mathrm{resp.}(O \ D)\big)}$$の列($${\mathrm{resp.}}$$行)も線形従属でしょ．

ペケ：確かにー．ところでジマさん，何となくですけど，

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D\\
\end{vmatrix}
&=|AD-BC|\\
&(A,B,C,D\in \mathbb C^{n\times n})
\end{aligned}
$$

は成り立つんですかね？

ジマ：n～～．似たような概念なら成り立つ成り立つことが示せるんだよねー．

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
A & B \\
C & D\\
\end{vmatrix}
&=|A||D-CA^{-1}B|\\
&=|D||A-BD^{-1}C|
\end{aligned}
$$

サイズ書くと，

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
A_{m\times m} & B_{m\times n} \\
C_{n\times m} & D_{n\times n}\\
\end{vmatrix}\\
\\
&|A_{m\times m}||D_{n\times n}-C_{n\times m}A^{-1}_{m\times m}B_{m\times n}|\\
&=|A_{m\times m}||(D-CA^{-1}B)_{n\times n}|\\
\\
&|D_{n\times n}||A_{m\times m}-B_{m\times n}D^{-1}_{n\times n}C_{n\times m}|\\
&=|D_{n\times n}||(A-BD^{-1}C)_{m\times m}|\\
\end{aligned}
$$

ペケくんの言った式と形がおんなじだけど，行列式がらみだから，行列のサイズ合うようになってるんだねェーー．

ペケ：またちょっと天下りなんですかね？

ジマ：まぁ，さっきの計算と同じような感じだね．

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
I_m &O_{m\times n}\\
T & I_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D\\
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
A & B \\
TA+C & TB+D\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

で，さっきの結果使えばいいね．

ペケ：さっきの結果使うには，$${TA+C=O}$$だから，$${T=-CA^{-1}}$$で，

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
I_m &O_{m\times n}\\
T & I_n\\
\end{vmatrix}\\
&\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
I_m &O_{m\times n}\\
T_{n\times m} & I_n\\
\end{pmatrix}^\top
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
I_m &(T^\top)_{m\times n} \\
O_{n\times m}& I_n\\
\end{vmatrix}\\
&=|I_m||I_n|(\because さっきの結果)\\
&=1
\end{aligned}
$$