ペケとジマの線形代数+ #3 同時対角化可能な行列

登場人物

ペケ(聞き手)
理系，学部3年．
工学系の院試を控えている．

ジマ(話し手)
文系，ペケの先輩．
口が悪い．

ジマ：同じ行列で固有値分解できる行列$${A,B}$$を同時対角化可能というよォー．

$$
\begin{aligned}
A=PD_AP^{-1},B=PD_BP^{-1}
\end{aligned}
$$

ペケ：てことは，

$$
\begin{aligned}
AB
&=PD_AP^{-1}PD_BP^{-1}\\
&=PD_AD_BP^{-1}\\
&=PD_BD_AP^{-1}\\
&=PD_BP^{-1}PD_AP^{-1}\\
&=BA
\end{aligned}
$$

ってこと？

ジマ：Soーー．よく気づいたな．
実は同時対角化可能性と交換可能性は同値だよォーーーwww

ペケ：へー．でも，必要性を示す方法が思いつきません…

ジマ：$${A}$$の固有値$${\lambda}$$に対する固有ベクトルを$${\bm p}$$とすると，

$$
\begin{aligned}
A(B\bm p)
&=AB\bm p\\
&=BA\bm p\\
&=B(A\bm p)\\
&=B(\lambda\bm p)\\
&=B\lambda \bm p\\
&=\lambda(B\bm p)\\
\end{aligned}
$$

てことは，$${\bm q=B\bm p}$$も$${A\bm q=\lambda \bm q}$$だから$${A}$$の固有値$${\lambda}$$に対する固有ベクトルじゃん？

てことは，$${\bm q}$$は$${\bm p}$$のゼロでない定数倍ってことだから，
$${B\bm p=\mu\bm p}$$じゃん？

てことは，$${\bm p}$$は$${B}$$の固有値$${\mu}$$に対する固有ベクトルでもあるってことじゃん？

だから，は同時対角化できると言えるんだNe～～～．Soーー．

ペケ：なるほどねー．

#3のまとめ

$${A,B}$$を同時対角化可能$${\iff AB=BA}$$

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