ペケとジマの線形代数 #6 逆行列
登場人物
ペケ
理系，学部1年．
メガネ
ジマ
文系，ペケの先輩．
メガネ
ペケ：ゼロ以外のスカラーには掛けて1になるような逆数がありましたけど，行列にもそういうヤツあるんですかね？
ジマ：あるよォー．逆行列って言うんだよねー．$${A}$$の逆行列$${A^{-1}}$$と書いて，
$$
A^{-1}A=AA^{-1}=I
$$
という具合に，行列の逆数みたいなモンだねー．
ペケ：これを満たす$${A^{-1}}$$って何個かあるんですかね？
ジマ：自分で証明してみれば？
ペケ：分かりました．$${S,T}$$を$${SA=AT=I}$$なる行列として，
$$
S=SI=SAT=IT=T
$$
あれ，$${S=T}$$になったということは，逆行列は$${A}$$に対して可換$${(TA=AT=I)}$$で，しかも一つしかないってことですか？
ジマ：なんで一つしかないって言える？
ペケ：逆行列は可換なのが分かったので，$${PA=AP=I,QA=AQ=I}$$という2本の式が成立するような$${P,Q(P\neq Q)}$$を仮定してさっきと同様に計算すると$${P=Q}$$となって，仮定に反するからです．
ジマ：Soー．逆行列の一意性って言って，逆行列はあるとしたら高々1個しかないんだよォ．
ペケ：そうなんですね．あるとしたら？
ジマ：$${|A|=0}$$となる行列には逆行列が存在しないよォー．
ペケ：なんでですか？
ジマ：#4で教えた，$${|AB|=|A||B|}$$を使うと，
$$
\begin{aligned}
1=|I|=|AA^{-1}|=|A||A^{-1}|
\end{aligned}
$$
となるからだヨォー．
$${|A|\neq0}$$となる行列のことを正則な行列と言うよ．
ペケ：なるほど．ということは，$${|A|\neq0}$$のとき両辺$${|A|}$$で割ると，
$$
\begin{aligned}
|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=|A|^{-1}
\end{aligned}
$$
ですね？指数とインバースの表記が一致するようになってるのが面白いですね．
ジマ：おっそうだな．次に逆行列の公式を教えるYoー．
$$
\begin{aligned}
&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\
&(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top
\end{aligned}
$$
ペケ：上は転置の公式と似てますね．どうやって見つけたんですか？
ジマ：どうもこうも，$${AB}$$に左右から$${B^{-1}A^{-1}}$$掛けたらどっちからでもちゃんと単位行列になるでしょ．
ペケ：こんな簡単に見つかっちゃっていいもんなんですか？
これ以外にもあるかもしれないし．
ジマ：さっき逆行列はあるとしたら高々一個しかないって話したばっかりでしょ，おじいちゃん．
ペケ：そうでした．情けないです．下はどう示すんですか？
ジマ：
$$
\begin{aligned}
I=(AA^{-1})^\top=(A^{-1})^\top A^\top
\end{aligned}
$$
じゃん？右から$${(A^\top)^{-1}}$$を掛けると，
$$
\begin{aligned}
\therefore
(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top
\end{aligned}
$$
だねー．
ということは，対称行列$${A^\top=A}$$の逆行列も対称行列となること分かるNa～～．
$$
\begin{aligned}
(A^{-1})^\top=(A^\top)^{-1}=A^{-1}
\end{aligned}
$$
ペケ：なるほど．和の逆行列の公式はないんですか？
ジマ：あるけど，使わねーだろこんなん．
$$
\begin{aligned}
(A+B)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}
\end{aligned}
$$
ペケ：逆に複雑になってますもんね．
#6のまとめ
逆行列が存在する行列，すなわち，$${|A|\neq0}$$なる行列$${A}$$を正則であるという．
逆行列は存在するとしても高々1つしかない．(逆行列の一意性)
$${|A^{-1}|=1/|A|}$$
$${(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$$
$${(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top}$$
対称行列の逆行列も対称行列となる．
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