ペケとジマの線形代数 #7 固有値分解①

コジ

2024年11月30日 05:31

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
メガネのレンズがプラスチック

ジマ
文系，ペケの先輩．
メガネのレンズがガラス

ペケ：ジマさん．スカラーと違って，行列のベキを計算するのってホント面倒ですよね．計算ミスもしやすいですし．

ジマ：固有値分解って聞いたこと無ぇ～～？

ペケ：簡単に計算する技があるんスかね？

ジマ：Soー．では次の式を見てくれ給へ．

$$
\begin{aligned}
A\boldsymbol p=\lambda\boldsymbol p
\end{aligned}
$$

$${\lambda}$$はスカラーだ．

ペケ：初回で行列はベクトルを伸ばしたり回転したりするものって話してましたけど，伸ばすだけのやつもあるんですね．

ジマ：正確に言うと，$${A\in\mathbb C^{n\times n}}$$に，それに掛けて自身の定数倍が出てくるベクトル$${\boldsymbol p}$$が高々$${n}$$本あるんよ．

ペケ：ベクトルを何でもかんでも定数倍に伸ばすような行列があるわけじゃなく，その行列固有の，掛けて定数倍に伸びるようなベクトルが何本かあるわけですね．

ジマ：そォー．
ま，今から$${\boldsymbol p}$$の作り方教えるから見とけ．

ペケ：ありがとうございます．

ジマ：まず，左辺を移項して，

$$
\begin{aligned}
\lambda\boldsymbol p-A\boldsymbol p=\boldsymbol 0
\end{aligned}
$$

ペケ：あ！で$${\boldsymbol p}$$で括るんですね！

$$
\begin{aligned}
(\lambda-A)\boldsymbol p=\boldsymbol 0
\end{aligned}
$$

…あれ，「(スカラー)-(行列)」の形になっちゃった．

ジマ：最後まで人の話聞けよなァー．

ペケ：すみませんでした．

ジマ：うまいこと「(行列)-(行列)」の形に直すんだけどSa～～．

$$
\begin{aligned}
&\lambda\boldsymbol p-A\boldsymbol p
=\lambda I\boldsymbol p-A\boldsymbol p
=(\lambda I-A)\boldsymbol p\\
\\
&\therefore (\lambda I-A)\boldsymbol p
=\boldsymbol 0
\end{aligned}
$$

ペケ：へー．サイズ揃えるためにいったん単位行列かますんですね．
で，このあとどうするんですか？

ジマ：行列$${(\lambda I-A)}$$の行列式(固有多項式$${:\varphi_A(\lambda):=|\lambda I-A|}$$という．)がゼロになるような$${\lambda}$$求めるよー．

ペケ：$${\boldsymbol p}$$を求める前に定数$${\lambda}$$を求めるんですね．なんで$${(\lambda I-A)}$$が正則じゃなくなるような$${\lambda}$$を求めるんですかね？

ジマ：#2でやったように，
$${(\lambda I-A)=(\boldsymbol e_1' \ \cdots \ \boldsymbol e_n'),\boldsymbol p=p_1\boldsymbol e_1+\cdots+p_n\boldsymbol e_n}$$として，

$$
\begin{aligned}
(\lambda I-A)\boldsymbol p
&=(\lambda I-A)(p_1\boldsymbol e_1+\cdots+p_n\boldsymbol e_n)\\
&=p_1(\lambda I-A)\boldsymbol e_1+\cdots+p_n(\lambda I-A)\boldsymbol e_n\\
&=p_1\boldsymbol e_1'+\cdots+p_n\boldsymbol e_n'\\
&=\boldsymbol 0\\
\\
\therefore
& p_1\boldsymbol e_1'+\cdots+p_n\boldsymbol e_n'
=\boldsymbol 0
\end{aligned}
$$

と表されるじゃん？
で，$${\boldsymbol p=\boldsymbol 0}$$だとおもんないじゃん？
てことは？

ペケ：てことは，$${p_1=\cdots=p_n=0}$$じゃなくて，かつ左辺がゼロベクトルになるには$${\boldsymbol e_1',\cdots,\boldsymbol e_n'}$$が線形独立じゃないってことだから…
あ，コレ#5でやった，他と線形従属なベクトルある行列の行列式がゼロになるってやつですね？

ジマ：So～．だから固有方程式$${\varphi_A(\lambda)=0}$$の解が高々$${n}$$個だから$${\boldsymbol p}$$が高々$${n}$$本あるって話したんだよねー．

ペケ：重解あると減ったりするから高々$${n}$$個って言い方なんすね．

ジマ：ほぼほぼそう．で，重解考えないとして，このようにして得られた$${\lambda_1,\cdots,\lambda_n}$$に対し，連立方程式

$$
\begin{aligned}
(\lambda_i I-A)\boldsymbol p
=\boldsymbol 0
\end{aligned}
$$

を解くと，これを満たすベクトル$${\bm p}$$ がたくさん得られるわけだが，そのうちの1本を$${\boldsymbol p_i}$$とするわけだな．この$${\lambda_i}$$を固有値，$${\boldsymbol p_i}$$を固有ベクトルというよォー．

ペケ：なるほど…？
で，コレが行列のベキの計算と何が関係してるんですかね？

ジマ：ベクトル$${A\boldsymbol p_1,\cdots,A\boldsymbol p_n}$$を並べた行列を作ると，

$$
\begin{aligned}
\Big(A\boldsymbol p_1 \ \cdots \ A\boldsymbol p_n\Big)
=(\lambda_1\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \lambda_n\boldsymbol p_n)
\end{aligned}
$$

ペケ：これ，$${A}$$や$${\lambda_i}$$を$${\boldsymbol p_i}$$から分解できそうですね．

$$
\begin{aligned}
&\Big(A\boldsymbol p_1 \ \cdots \ A\boldsymbol p_n\Big)
=A(\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \boldsymbol p_n),\\
\\
&(\lambda_1\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \ \lambda_n\boldsymbol p_n)
=(\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \boldsymbol p_n)
\begin{pmatrix}
\lambda_1&0&\cdots&0\\
0&\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&\vdots&\ddots&0\\
0&0&\cdots&\lambda_n\\
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

ですね．上手いこと$${\boldsymbol p_i}$$だけの行列を取り出せました．

ジマ：Soー．$${P=(\boldsymbol p_1 \ \cdots \ \boldsymbol p_n)}$$，$${\lambda_i}$$を対角に並べた対角行列を$${D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)}$$と置くと，

$$
\begin{aligned}
AP=PD
\end{aligned}
$$

となり，右から$${P^{-1}}$$を掛けると，

$$
\begin{aligned}
\therefore A=PDP^{-1}
\end{aligned}
$$

だねー．

ペケ：あー，

$$
\begin{aligned}
A^k
&=PDP^{-1}PDP^{-1}\cdots PDP^{-1}\\
&=PDIDI\cdots IDP^{-1}\\
&=PD^kP^{-1}\\
\\
\therefore
A^k
&=PD^kP^{-1}\\
\end{aligned}
$$

で，$${D^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k)}$$と簡単に計算できるから，実質2回の行列の積の計算で済むということですね．
てかこれ例えば$${P=(\boldsymbol p_2 \ \boldsymbol p_1 \ \boldsymbol p_3)}$$だったら，$${D=\mathrm{diag}(\lambda_2,\lambda_1,\lambda_3)}$$になるんですか？

ジマ：当たりめーだろタコ．ベクトル$${A\boldsymbol p_2,A\boldsymbol p_1,A\boldsymbol p_3}$$を並べて行列作ったら右辺は$${(\lambda_2\boldsymbol p_2 \ \lambda_1\boldsymbol p_1 \ \lambda_3\boldsymbol p_3)}$$になるだろーが．

ペケ：確かに．あと，断りなしに$${P^{-1}}$$使ってますけど，$${|P|=0}$$にはなんないんですかね？

ジマ：なるわけなくねー？
$${p_1=\cdots=p_n=0}$$って言ってんだからまず固有ベクトルはゼロベクトルじゃないし，$${\boldsymbol p_i=k\boldsymbol p_j(k\neq0,i\neq j)}$$だったら固有値も$${ \lambda_i=\lambda_j}$$になってしまい，今回固有値が全部違うという仮定に反するから，$${\boldsymbol p_i}$$はすべて線形独立となるから$${|P|\neq0}$$だねー．