ペケとジマの線形代数 #4'' 行列式とその性質①''

コジ

2024年11月29日 01:54

※今回は#4の平行世界の話です．

(#4で理解できた方は読み飛ばして構いません．)

登場人物

ペケ
理系，学部1年．
"チー牛"に似てる．

ジマ
文系，ペケの先輩．
"iカップ未満お断りのTom"に似てる．

ジマ：今回は行列式を解説するよォーー．

ペケ：ありがとうございます．行列式って

$$
|A|
=\det A
=\det(A)
=\det\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}
=\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}
$$

こういう奴ですよね？なんで表記がいっぱいあるのか分かんないけど．

ジマ：見やすさや分かりやすさのためだね．分母や成分に行列式が来るとき，

$$
\frac{1}{\det(A)} \ , \ 1/\det(A)
$$

だと冗長だから，

$$
\frac{1}{|A|} \ , \ 1/|A|
$$

と書きたいし，だからと言って$${|A|}$$だと絶対値や濃度にも見えるし．でも$${\det (A)}$$って書けば説明なしに一発でわかんじゃん？

ペケ：一長一短なんですね．

ジマ：後は，他単元で行列式の絶対値を書きたいとき$${||A||}$$って書いたらノルムにも見えんじゃん？ヤコビアンとか．
こういう時は一目で分かりやすいように$${|\det A|}$$とかって書くんだよォー．
この解説シリーズでも適宜それぞれの表記を使っていくから戸惑わないでくれよなァー．

ペケ：分かりました．ところで行列式って何者なんですか？

ジマ：行列式は正方行列の大きさみたいなもんだねー．マイナスにもなるけど．色んな定義があるが，行列式は次で定義されるヨォー．

$$
\begin{aligned}
|A|
&:=\sum_{i_1=1}^n\cdots\sum_{i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}\\
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}\\
\end{aligned}
$$

ペケ：$${\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}}$$ってなんスカ？

ジマ：レビチビタ記号だよォー．

$$
\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}=
\left\{
\begin{equation*}
\begin{aligned}
1&\ \ (i_1,\cdots,i_nが偶置換) \\
-1&\ \ (i_1,\cdots,i_nが奇置換) \\
0&\ \ (ほか) \\
\end{aligned}
\end{equation*}
\right.
$$

ペケ：

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2\varepsilon_{ij}a_{1i} a_{2j}\\
&=\varepsilon_{12}a_{11}a_{22}+\varepsilon_{21}a_{12} a_{21}\\
&=a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}\\
\\
\\
&\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}\\
&=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\varepsilon_{ijk}a_{1i} a_{2j} a_{3k}\\
&=\varepsilon_{123}a_{11} a_{22} a_{33}
+\varepsilon_{231}a_{12} a_{23} a_{31}
+\varepsilon_{312}a_{13} a_{21} a_{32}\\
& \ \ \ \ +\varepsilon_{132}a_{11} a_{23} a_{32}
+\varepsilon_{213}a_{12} a_{21} a_{33}
+\varepsilon_{321}a_{13} a_{22} a_{31}\\
&=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}\\
& \ \ \ \ -a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}\\
\end{aligned}
$$

確かに．サラスの方法と一致しました．

ジマ：お前ホイ卒かァ～？サラスの方法は余因子展開から示されるから循環論法だぞ．
$${n}$$次正方行列の行列式の項数$${T_n}$$とすると，
$${T_n=nT_{n-1}=n(n-1)T_{n-2}=…=n!}$$だから，サラスの方法が$${n \geq 4}$$で通用しないことも分かるな．

ペケ：確かに．サラスの方法で同様にやった場合の項数考えると$${2n \ (n\geq 3)}$$個ですもんね．

ジマ：行列式には次の性質があるよー．

$$
\begin{align}
&交代性:\notag\\
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\notag \\
&=-\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\notag \\
&線形性:\notag \\
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\notag\\
&=k\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x)_{i列目} \ \ \cdots \notag\ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\ \ \ \ \ +\ell \Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{align}
$$

ペケ：どうやって示すんですか？

ジマ：$${(1)}$$は，

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\sum_{i_1=1}^n\cdots\sum_{i_i=1}^n\cdots\sum_{i_j=1}^n\cdots\sum_{i_n=1}^n
\varepsilon_{i_1 \cdots i_i \cdots i_j \cdots i_n}
a_{1i_1}\cdots a_{ii_i}\cdots a_{ji_j}\cdots a_{ni_n}\\
&=\sum_{i_1=1}^n\cdots\sum_{i_i=1}^n\cdots\sum_{i_j=1}^n\cdots\sum_{i_n=1}^n
(-\varepsilon_{i_1 \cdots i_j \cdots i_i \cdots i_n})
a_{1i_1}\cdots a_{ii_i}\cdots a_{ji_j}\cdots a_{ni_n}\\
&=-\sum_{i_1=1}^n\cdots\sum_{i_j=1}^n\cdots\sum_{i_i=1}^n\cdots\sum_{i_n=1}^n
\varepsilon_{i_1 \cdots i_j \cdots i_i \cdots i_n}
a_{1i_1}\cdots a_{ji_j}\cdots a_{ii_i}\cdots a_{ni_n}\\
&=-\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{aligned}
$$

ちょっと丁寧すぎたかァー？

ペケ：レビチビタの添え字を一個入れ替えたことで置換の偶奇が変わってるからマイナスが出てきたということか．
シグマの上下に和をとる添え字がないから和の順序を自由に変えられるんですね．
にしても$${i_i}$$ってなんだかキモいですね．

ジマ：一言も間違ったこと言って無くねぇー？$${i_k}$$と$${i}$$は別物なわけだし．次$${(2)}$$

$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n
\varepsilon_{i_1\cdots i_n}
a_{1i_1}\cdots(kx_{i_i}+\ell y_{i_i})\cdots a_{ni_n}\\
&=k\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n
\varepsilon_{i_1\cdots i_n}
a_{1i_1}\cdots x_{i_i}\cdots a_{ni_n}\\
& \ \ \ \ +\ell\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n
\varepsilon_{i_1\cdots i_n}
a_{1i_1}\cdots y_{i_i}\cdots a_{ni_n}\\
&=k\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x)_{i列目} \ \ \cdots \notag\ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\ \ \ \ \ +\ell \Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{aligned}
$$

行列式は各列に対して線形性があるんだよNeーー．
多重線形性があるというよォー．

ペケ：へー．各行には？

ジマ：言えるよぉー．次が成り立つからね．

$$
\begin{align}
|A^\top|=|A|
\end{align}
$$

転置しても行列式の値は変わんないんだよね．

ペケ：何となくわかるんですが，証明は？

ジマ：ホイ．

$$
\begin{aligned}
&|A^\top|\\
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{i_11}\cdots a_{i_nn}\\
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}\\
&=|A|
\end{aligned}
$$

ペケ：2から3行目は何をしたんスか？

ジマ：レビチビタ記号がゼロになる組み合わせを除いて，$${a}$$の1番目の添え字が$${1,2,…,n}$$になるように掛け算の順序を並び替えたんだ．

ペケ：直感的には信じがたいですが，一意に$${k\leftarrow i_k}$$と対応させてたから，逆(ケツの添え字)も一意に$${k\rightarrow i_k}$$という風に対応しているんですね．

ジマ：So－．で，次が今回の花形だ．

$$
\begin{align}
|AB|=|A||B|
\end{align}
$$

積の行列式は行列式の積になるんだよぉー．Soー．

ペケ：へ～～！やっぱり．何となくそうなると思っていました．どうやって示すんですか？

ジマ：

$$
\begin{aligned}
|AB|
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}\left(\sum_{j_1=1}^na_{1j_1}b_{j_1i_1}\right)\cdots\left(\sum_{j_n=1}^na_{nj_n}b_{j_ni_n}\right)\\
&=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\sum_{j_1,\cdots,j_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}a_{1j_1}b_{j_1i_1}\cdots a_{nj_n}b_{j_ni_n}\\
&=\sum_{j_1,\cdots,j_n=1}^na_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^n\varepsilon_{i_1 \cdots i_n}b_{j_1i_1}\cdots b_{j_ni_n}\\
&=\sum_{j_1,\cdots,j_n=1}^na_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\cdot\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}|B|\\
&=|B|\sum_{j_1,\cdots,j_n=1}^n\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\\
&=|A||B|\\
\end{aligned}
$$

コジ(筆者)が大昔に見やすい証明をupしてるから，分かりにくかったらそっちでも見とけ．

ペケ：はい．3行目から4行目は，さっき示した交代性から，置換の偶奇と行の並べ替えの符号が一致するから，

$$
\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}
\boldsymbol b_{j_1} \\
\vdots\\
\boldsymbol b_{j_n}\\
\end{vmatrix}
=\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}
\begin{vmatrix}
\boldsymbol b_{1} \\
\vdots\\
\boldsymbol b_{n}\\
\end{vmatrix}
=\varepsilon_{j_1 \cdots j_n}|B|
\end{aligned}
$$

ということですね？

ジマ：Soー．$${\{j_1,\cdots,j_n\}}$$が偶置換なら偶数回，奇置換なら奇数回の行の入れ替えで$${\{1,\cdots,n\}}$$に直せるからNe～～～．

#4''のまとめ

行列式は$${|A|:=\sum_{i_1,\cdots,i_n=1}^na_{1i_1}\cdots a_{ni_n}}$$によって定義される(いくつかの同値な定義の一つ)
行列式の性質①
1. 2つの列・行を入れ替えるとマイナスが付く．(交代性)
2. 各列・行に線形性がある．(多重線形性)
3. 積の行列式は行列式の積：$${|AB|=|A||B|}$$
4. 転置しても値不変：$${|A^\top|=|A|}$$

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