ペケとジマの線形代数 #4 行列式とその性質①
※平行世界の話がいくつかあります．(#4'と#4'')
(納得がいかなかったら見てみると良いかもしれません．)
登場人物
ペケ
理系，学部1年．
"チー牛"に似てる．
ジマ
文系，ペケの先輩．
"iカップ未満お断りのTom"に似てる．
ジマ：今回は行列式を解説するよォーー．
ペケ：ありがとうございます．行列式って
$$
|A|
=\det A
=\det(A)
=\det\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
\end{pmatrix}
=\begin{vmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots& \ddots&\vdots\\
a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}
$$
こういう奴ですよね？なんで表記がいっぱいあるのか分かんないけど．
ジマ：見やすさや分かりやすさのためだね．分母や成分に行列式が来るとき，
$$
\frac{1}{\det(A)} \ , \ 1/\det(A)
$$
だと冗長だから，
$$
\frac{1}{|A|} \ , \ 1/|A|
$$
と書きたいし，だからと言って$${|A|}$$だと絶対値や濃度にも見えるし．でも$${\det (A)}$$って書けば説明なしに一発でわかんじゃん？
ペケ：一長一短なんですね．
ジマ：後は，他単元で行列式の絶対値を書きたいとき$${||A||}$$って書いたらノルムにも見えんじゃん？こういう時は一目で分かりやすいように$${|\det A|}$$とかって書くんだよォー．
この解説シリーズでも適宜それぞれの表記を使っていくから戸惑わないでくれよなァー．
ペケ：分かりました．ところで行列式って何者なんですか？
ジマ：行列式は正方行列の大きさみたいなもんだねー．マイナスにもなるけど． 色んな定義があるが，行列式は余因子展開で再帰的に定義されるよー(参考：Equivalence of Definitions of Determinant 等)．
書くの面倒だから余因子展開のやり方は自分で調べてくれよなァーー．Soーー．
ペケ：$${2,3}$$次正方行列の行列式を1列目で余因子展開しまくると，
$$
\begin{aligned}
&\det\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\\
&=a\cdot(-1)^{1+1}d+b\cdot(-1)^{2+1}c\\
&=ad-bc\\
\\
\\
&\det\begin{pmatrix}
x_1&x_2&x_3\\
y_1&y_2&y_3\\
z_1&z_2&z_3\\
\end{pmatrix}\\
&=x_1\cdot(-1)^{1+1}
\begin{vmatrix}
y_2&y_3\\
z_2&z_3
\end{vmatrix}
+x_2\cdot(-1)^{1+2}
\begin{vmatrix}
y_1&y_3\\
z_1&z_3
\end{vmatrix}
+x_3\cdot(-1)^{1+3}
\begin{vmatrix}
y_1&y_2\\
z_1&z_2
\end{vmatrix}\\
&=x_1(y_2z_3-y_3z_2)-x_2(y_1z_3-y_3z_1)+x_3(y_1z_2-y_2z_1)\\
&=x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_3y_1z_2-x_1y_3z_2-x_3y_2z_1-x_2y_1z_3\\
\end{aligned}
$$
確かに．サラスの方法と一致しました．
ジマ：お前ホイ卒かァ～？サラスの方法は余因子展開から示されるから循環論法だぞ．
$${n}$$次正方行列の行列式の項数$${T_n}$$とすると，
$${T_n=nT_{n-1}=n(n-1)T_{n-2}=…=n!}$$だから，サラスの方法が$${n \geq 4}$$で通用しないことも分かるな．
ペケ：確かに．サラスの方法で同様にやった場合の項数考えると$${2n \ (n\geq 3)}$$個ですもんね．
ジマ：で，次が今回の花形だ．
$$
|AB|=|A||B|
$$
積の行列式は行列式の積になるんだよぉー．Soー．
ペケ：へ～～！やっぱり．何となくそうなると思っていました．どうやって示すんですか？
ジマ：ｸｸｸｸｸ…www
ペケ：？
ジマ：ムズいから今は示せないよォーwww
結果だけ使っていいよー．
ペケ：こんな基本的な式の証明がそんなにムズいんですか！？
にわかに信じがたいですね…
ジマ：コジ(筆者)が大昔に簡単な証明をupしてるから，知りたかったらそれ見とけ．
ペケ：はい．
ジマ：行列式には次の性質があるよー．
$$
\begin{align}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\notag \\
&=-\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\notag \\
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (x_1\boldsymbol a_1+\cdots+x_n\boldsymbol a_n)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\notag \\
&=x_i\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{align}
$$
ペケ：どうやって示すんですか？
ジマ：少々天下りだから教えるよー．
$${(1)}$$は$${S=\Big(\boldsymbol e_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol e_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol e_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol e_n\Big)}$$とすると，
$$
\begin{aligned}
|S|
&=
\begin{vmatrix}
1&&&&&&\\
&\ddots&&&&\Huge O&\\
&&0&\cdots&1&&\\
&&\vdots&\ddots&\vdots&&\\
&&1&\cdots&0&&\\
&\Huge O&&&&\ddots&\\
&&&&&&1\\
\end{vmatrix}_{n}\\
&\overset{1列目を余因子展開しまくる}{=}
\begin{vmatrix}
0&\cdots&1&&\\
\vdots&\ddots&\vdots&\Huge O&\\
1&\cdots&0&&\\
&\Huge O&&\ddots&\\
&&&&1\\
\end{vmatrix}_{n-i+1}\\
&\overset{ケツの列を余因子展開しまくる}{=}
\begin{vmatrix}
0&\cdots&1\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
1&\cdots&0\\
\end{vmatrix}_{j-i+1}\\
&\overset{1列目を余因子展開}{=}(-1)^{j-i+1}
\begin{vmatrix}
0&\cdots&\cdots&1\\
1&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&1&0
\end{vmatrix}_{j-i}\\
&\overset{ケツの列を余因子展開}{=}(-1)^{j-i}(-1)^{j-i+1}
\begin{vmatrix}
1&\cdots&0\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&1\\
\end{vmatrix}_{j-i-1}\\
&=-1
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
\therefore
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n)S\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big||S|\\
&=-\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_j \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{aligned}
$$
行列式のサイズ把握しやすいように右下に添え字で書いといたよー．
ペケ：なんか巨大で見た目がキモいですね．
ジマ：メガロフォビアかオメー？$${(2)}$$は，
$${X=\Big(\boldsymbol e_1 \ \ \cdots \ \ (x_1\boldsymbol e_1+\cdots+x_n\boldsymbol e_n)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol e_n\Big)}$$とすると，
$$
\begin{aligned}
|X|
&=
\begin{vmatrix}
1&\cdots&x_1&&\\
&\ddots&\vdots&\huge O&\\
&&x_i&&\\
&\huge O&\vdots&\ddots&\\
&&x_n&\cdots&1\\
\end{vmatrix}\\
&\overset{1列目を余因子展開しまくる}{=}
\begin{vmatrix}
x_i&\cdots&0\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
x_n&\cdots&1\\
\end{vmatrix}\\
&\overset{1行目を余因子展開しまくる}{=}x_i
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
\therefore
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (x_1\boldsymbol a_1+\cdots+x_n\boldsymbol a_n)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=\Big|\Big(\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big)X\Big|\\
&=\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big||X|\\
&=x_i\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{aligned}
$$
ペケ：てことは，
$${\boldsymbol x=x_1\boldsymbol a_1+\cdots+x_n\boldsymbol a_n,\boldsymbol y=y_1\boldsymbol a_1+\cdots+y_n\boldsymbol a_n}$$として，
$$
\begin{aligned}
&\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (k\boldsymbol x+\ell\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=(kx_i+\ell y_i)\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=kx_i\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\ \ \ \ \ +\ell y_i\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_ i \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&=k\Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol x)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
&\ \ \ \ \ +\ell \Big|\boldsymbol a_1 \ \ \cdots \ \ (\boldsymbol y)_{i列目} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol a_n\Big|\\
\end{aligned}
$$
ですね？
ジマ：Soー．よく気づいたな．行列式は各列に対して線形性があるんだよNeーー．多重線形性があるというよォー．
ペケ：へー．各行には？
ジマ：言えるよぉー．次が成り立つからね．
$$
|A^\top|=|A|
$$
転置しても行列式の値は変わんないんだよね．
ペケ：何となくわかるんですが，証明は？
ジマ：余因子展開と帰納法だね．
ペケ：なるほど．
#4のまとめ
行列式は余因子展開によって定義される(いくつかの同値な定義の一つ)
行列式の性質
2つの列・行を入れ替えるとマイナスが付く．(交代性)
各列・行に線形性がある．(多重線形性)
積の行列式は行列式の積：$${|AB|=|A||B|}$$
転置しても値不変：$${|A^\top|=|A|}$$
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