朝のお積分 #2

cool integrals and a cool result,in terms of pi and golden ratio. Use of Feynman's trick pic.twitter.com/HAaN4Jdt0Y

— عاصم القحيف (@a____s___m11) December 17, 2024

上の積分を$${I}$$，下の積分を$${J}$$とします．$${J}$$はいわゆるキングプロパティから$${J=I-J}$$となるので，$${I}$$が分かればOKですね✨

答えが無くても被積分関数から，ゴールデンな(答えに黄金数が出てくる)雰囲気がプンプン漂っています．

いわゆるファインマンズ・トリックを使うと簡単に解けてしまって面白くないので，既知としない方針で行きましょう！

まず，初手ですが，
①$${\cot^{-1}}$$の中身をルートなしの有理形にしたい．
②$${\tan^{-1}}$$の加法定理を用いて分解したい．
ということを考えると，次のような置換でできそうです．

$$
\begin{aligned}
I
&=\int_0^\infty\cot^{-1}\left(\frac{u}{1+u^2}\right)\frac{2u}{(1+u^2)^2}\mathrm du\\
&\left(x=\frac{u^2}{1+u^2}\right)\\
&=\int_0^\infty\cot^{-1}\left(\frac{\varphi u-\varphi^{-1}u}{1+\varphi u\cdot\varphi^{-1}u}\right)\frac{2u}{(1+u^2)^2}\mathrm du\\
&\left(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\right)\\
&=\int_0^\infty\left(\frac\pi2-\tan^{-1}(\varphi u)+\tan^{-1}(\varphi^{-1} u)
\right)\frac{2u}{(1+u^2)^2}\mathrm du\\
&=\left[-\frac{1}{1+u^2}\left(\frac\pi2-\tan^{-1}(\varphi u)+\tan^{-1}(\varphi^{-1} u)
\right)\right]_0^\infty\\
&-\int_0^\infty\frac{\varphi}{(1+u^2)(1+\varphi^2u^2)}\mathrm du
+\int_0^\infty\frac{\varphi^{-1}}{(1+u^2)(1+\varphi^{-2}u^2)}\mathrm du\\
&=\frac{\pi}{2}-\int_0^\infty\frac{\varphi}{(1+u^2)(1+\varphi^2u^2)}\mathrm du
+\int_0^\infty\frac{\varphi^{-1}}{(1+u^2)(1+\varphi^{-2}u^2)}\mathrm du
\end{aligned}
$$

($${\cot^{-1}}$$をどうやって分解したかは後述します．)
ですから解けそうです．方針は合っていましたね．
最後の行にある積分

$$
\begin{aligned}
I(a)=\int_0^\infty\frac{1}{(1+u^2)(1+a^2u^2)}\mathrm du \ (a>0,a\neq1)
\end{aligned}
$$

を求めていきましょう．部分分数分解して，

$$
\begin{aligned}
I(a)
&=\int_0^\infty\frac{1}{a^2-1}\left(\frac{a^2}{1+a^2u^2}-\frac{1}{1+u^2}\right)\mathrm du\\
&=\frac{a}{a^2-1}\int_0^\infty\frac{a}{1+a^2u^2}\mathrm du
-\frac{1}{a^2-1}\int_0^\infty\frac{1}{1+u^2}\mathrm du\\
&=\frac{a}{a^2-1}\Big[\tan^{-1}(ax)\Big]_0^\infty-\frac{1}{a^2-1}\Big[\tan^{-1}(x)\Big]_0^\infty\\
&=\frac{a}{a^2-1}\frac\pi2-\frac{1}{a^2-1}\frac\pi2\\
&=\frac\pi{2(a+1)}
\end{aligned}
$$

となります．したがって，黄金数の性質$${\varphi^2=\varphi+1}$$を適宜使用して，

$$
\begin{aligned}
\therefore I
&=\frac\pi2-\varphi\frac\pi{2(\varphi+1)}+\varphi^{-1}\frac\pi{2(\varphi^{-1}+1)}\\
&=\varphi^2\frac\pi{2\varphi^2}-\varphi\frac\pi{2\varphi^2}+\frac\pi{2\varphi^2}\\
&=(\varphi^2-\varphi)\frac\pi{2\varphi^2}+\frac\pi{2\varphi^2}\\
&=\frac\pi{2\varphi^2}+\frac\pi{2\varphi^2}\\
&=\frac\pi{\varphi^2}.
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
J
&=\int_0^1(1-u)\cot^{-1}\Big(\sqrt{(1-u)u}\Big)\mathrm du \ (x=1-u)\\
&=\int_0^1\cot^{-1}\Big(\sqrt{u(1-u)}\Big)\mathrm du-\int_0^1u\cot^{-1}\Big(\sqrt{u(1-u)}\Big)\mathrm du\\
&=I-J\\
\\
\therefore J&=\frac{I}{2}=\frac\pi{2\varphi^2}
\end{aligned}
$$

綺麗に解けました✨

途中の$${\cot^{-1}}$$の変形ですが，なんだか中身が$${\tan^{-1}}$$の加法定理の形をしていますよね．
で，直角三角形を書いていただくと分かると思いますが，$${x > 0}$$で$${\cot^{-1}x+\tan^{-1}x=\pi/2}$$となるので，$${\tan^{-1}}$$の加法定理を用いた分解が出来る訳です．
で，どのように分解すればいいかというと，実は$${t/(1+t^2)}$$分母にパラメータが隠れていることに気付ければ良いんですね．

$$
\begin{aligned}
\frac{kt-t/k}{1+(kt)(t/k)}=\frac{(k-1/k)t}{1+t^2}=\left(k-\frac1k\right)\frac{t}{1+t^2}
\end{aligned}
$$

なので，$${k-1/k=1}$$を解けば良いのですが，コレは黄金比の方程式$${k^2=k+1}$$そのものですので，この解$${k=\varphi \ \mathrm{or} \ -1/\varphi}$$のうち，簡単な$${k=\varphi }$$を選んであげればいいという訳ですね✨

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